MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Structured version   Unicode version

Theorem diffi 7331
Description: If  A is finite,  ( A  \  B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3466 . 2  |-  ( A 
\  B )  C_  A
2 ssfi 7321 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( A  \  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 653 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  dif1enOLD  7332  dif1en  7333  unfi  7366  dif1card  7884  hashun2  11649  hashun3  11650  hashssdif  11669  hashfun  11692  hashf1lem2  11697  incexc  12609  ramub1lem1  13386  ramub1lem2  13387  sylow2alem2  15244  sylow2a  15245  cmpcld  17457  alexsubALTlem3  18072  cldsubg  18132  xrge0gsumle  18856  amgm  20821  rpvmasum2  21198  cusgrafilem3  21482  gsumesum  24443  ballotlemfp1  24741  ballotlemgun  24774  subfacp1lem1  24857  subfacp1lem3  24860  elrfi  26739  eldioph2lem1  26809  eldioph2lem2  26810  pellexlem5  26887  stoweidlem44  27760  stoweidlem57  27773  frghash2spot  28389  usgreghash2spotv  28392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator