MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Unicode version

Theorem diffi 7105
Description: If  A is finite,  ( A  \  B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3316 . 2  |-  ( A 
\  B )  C_  A
2 ssfi 7099 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( A  \  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 652 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    \ cdif 3162    C_ wss 3165   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  dif1enOLD  7106  dif1en  7107  unfi  7140  dif1card  7654  hashun2  11381  hashun3  11382  hashssdif  11390  hashfun  11405  hashf1lem2  11410  incexc  12312  ramub1lem1  13089  ramub1lem2  13090  sylow2alem2  14945  sylow2a  14946  cmpcld  17145  alexsubALTlem3  17759  cldsubg  17809  xrge0gsumle  18354  amgm  20301  rpvmasum2  20677  ballotlemfp1  23066  ballotlemgun  23099  subfacp1lem1  23725  subfacp1lem3  23728  elrfi  26872  eldioph2lem1  26942  eldioph2lem2  26943  pellexlem5  27021  stoweidlem44  27896  stoweidlem57  27909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator