MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Structured version   Unicode version

Theorem diffi 7342
Description: If  A is finite,  ( A  \  B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3476 . 2  |-  ( A 
\  B )  C_  A
2 ssfi 7332 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( A  \  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 654 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726    \ cdif 3319    C_ wss 3322   Fincfn 7112
This theorem is referenced by:  dif1enOLD  7343  dif1en  7344  unfi  7377  dif1card  7897  hashun2  11662  hashun3  11663  hashssdif  11682  hashfun  11705  hashf1lem2  11710  incexc  12622  ramub1lem1  13399  ramub1lem2  13400  sylow2alem2  15257  sylow2a  15258  cmpcld  17470  alexsubALTlem3  18085  cldsubg  18145  xrge0gsumle  18869  amgm  20834  rpvmasum2  21211  cusgrafilem3  21495  gsumesum  24456  ballotlemfp1  24754  ballotlemgun  24787  subfacp1lem1  24870  subfacp1lem3  24873  elrfi  26762  eldioph2lem1  26832  eldioph2lem2  26833  pellexlem5  26910  stoweidlem44  27783  stoweidlem57  27796  frghash2spot  28526  usgreghash2spotv  28529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116
  Copyright terms: Public domain W3C validator