MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Unicode version

Theorem diffi 7275
Description: If  A is finite,  ( A  \  B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3417 . 2  |-  ( A 
\  B )  C_  A
2 ssfi 7265 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( A  \  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 653 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    \ cdif 3260    C_ wss 3263   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  dif1enOLD  7276  dif1en  7277  unfi  7310  dif1card  7825  hashun2  11584  hashun3  11585  hashssdif  11604  hashfun  11627  hashf1lem2  11632  incexc  12544  ramub1lem1  13321  ramub1lem2  13322  sylow2alem2  15179  sylow2a  15180  cmpcld  17387  alexsubALTlem3  18001  cldsubg  18061  xrge0gsumle  18735  amgm  20696  rpvmasum2  21073  cusgrafilem3  21356  gsumesum  24247  ballotlemfp1  24528  ballotlemgun  24561  subfacp1lem1  24644  subfacp1lem3  24647  elrfi  26439  eldioph2lem1  26509  eldioph2lem2  26510  pellexlem5  26587  stoweidlem44  27461  stoweidlem57  27474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator