MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Unicode version

Theorem diffi 7089
Description: If  A is finite,  ( A  \  B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3303 . 2  |-  ( A 
\  B )  C_  A
2 ssfi 7083 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( A  \  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 652 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  dif1enOLD  7090  dif1en  7091  unfi  7124  dif1card  7638  hashun2  11365  hashun3  11366  hashssdif  11374  hashfun  11389  hashf1lem2  11394  incexc  12296  ramub1lem1  13073  ramub1lem2  13074  sylow2alem2  14929  sylow2a  14930  cmpcld  17129  alexsubALTlem3  17743  cldsubg  17793  xrge0gsumle  18338  amgm  20285  rpvmasum2  20661  ballotlemfp1  23050  ballotlemgun  23083  subfacp1lem1  23710  subfacp1lem3  23713  elrfi  26769  eldioph2lem1  26839  eldioph2lem2  26840  pellexlem5  26918  stoweidlem44  27793  stoweidlem57  27806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator