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Theorem difinf 7217
Description: An infinite set  A minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
difinf  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin )

Proof of Theorem difinf
StepHypRef Expression
1 unfi 7214 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  B
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  \  B )  u.  B
)  e.  Fin )
2 undif1 3605 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
32eleq1i 2421 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  B
)  u.  B )  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
4 unfir 7215 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )
54simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
63, 5sylbi 187 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  B
)  u.  B )  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
71, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  B
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
87expcom 424 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  \  B
)  e.  Fin  ->  A  e.  Fin ) )
98con3d 125 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin ) )
109impcom 419 1  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    \ cdif 3225    u. cun 3226   Fincfn 6951
This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  7953  bitsf1  12734  hasheuni  23741  eldioph2lem2  26163  cusgrafilem3  27644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-fin 6955
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