MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difinf Structured version   Unicode version

Theorem difinf 7406
Description: An infinite set  A minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
difinf  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin )

Proof of Theorem difinf
StepHypRef Expression
1 unfi 7403 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  B
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( A  \  B )  u.  B
)  e.  Fin )
2 undif1 3727 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
32eleq1i 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  B
)  u.  B )  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
4 unfir 7404 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin ) )
54simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
63, 5sylbi 189 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  B
)  u.  B )  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  B
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
87expcom 426 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  \  B
)  e.  Fin  ->  A  e.  Fin ) )
98con3d 128 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin ) )
109impcom 421 1  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  B )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1727    \ cdif 3303    u. cun 3304   Fincfn 7138
This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  8148  bitsf1  12989  bwth  17504  cusgrafilem3  21521  hasheuni  24506  eldioph2lem2  26857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-fin 7142
  Copyright terms: Public domain W3C validator