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Theorem difreicc 11030
Description: The class difference of  RR and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3332 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
2 rexr 9132 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3 rexr 9132 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 elicc1 10962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
52, 3, 4syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
65adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
76notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8 3anass 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98notbii 289 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
10 ianor 476 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
11 rexr 9132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
1211pm2.24d 138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
1312adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
14 ianor 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
1511ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
16 mnflt 10724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
1716ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  -oo  <  x )
18 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
19 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
20 ltnle 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x )
)
2120bicomd 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x 
<->  x  <  A ) )
2218, 19, 21syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  <->  x  <  A ) )
2322biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  <  A )
24 mnfxr 10716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
252ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  A  e.  RR* )
26 elioo1 10958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2724, 25, 26sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) )
2928ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) ) )
30 ltnle 9157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B )
)
3130adantll 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  <->  -.  x  <_  B ) )
3211ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  RR* )
33 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  <  x )
34 ltpnf 10723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
3534ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  <  +oo )
363ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  e.  RR* )
37 pnfxr 10715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +oo  e.  RR*
38 elioo1 10958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
3936, 37, 38sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
4032, 33, 35, 39mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  ( B (,)  +oo ) )
4140ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4231, 41sylbird 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  B  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4329, 42orim12d 813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4414, 43syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4513, 44jaod 371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4610, 45syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
479, 46syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
487, 47sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4948expimpd 588 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
50 elun 3490 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) )
5149, 50syl6ibr 220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
52 ioossre 10974 . . . . . . . . 9  |-  (  -oo (,) A )  C_  RR
53 ioossre 10974 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,)  +oo )  C_  RR
5452, 53unssi 3524 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  C_  RR
5554sseli 3346 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
5655adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
57 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5824, 2, 57sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5958adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
6020biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) )
6160ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -oo  <  x  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6362com13 77 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( 
-oo  <  x  ->  (
x  <  A  ->  -.  A  <_  x )
) ) )
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  ->  (  -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) ) ) )
65643impd 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
)  ->  -.  A  <_  x ) )
6659, 65sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  ->  -.  A  <_  x ) )
673adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
6867, 37, 38sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo ) ) )
69 xrltnle 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B ) )
7069biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) )
7170ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7271com3l 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  <  +oo  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
7473com14 85 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  (
x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
753, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  -> 
( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
7675adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
77763impd 1168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo )  ->  -.  x  <_  B ) )
7868, 77sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  ->  -.  x  <_  B
) )
7966, 78orim12d 813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_  B
) ) )
8050, 79syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) ) )
8180imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
8281, 14sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
8382intnand 884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8483, 8sylnibr 298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
852, 3anim12i 551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
8685adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
874notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8984, 88mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A [,] B ) )
9056, 89jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
9190ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( x  e.  RR  /\ 
-.  x  e.  ( A [,] B ) ) ) )
9251, 91impbid 185 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  <->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
931, 92syl5bb 250 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A [,] B ) )  <-> 
x  e.  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
9493eqrdv 2436 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991    +oocpnf 9119    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   (,)cioo 10918   [,]cicc 10921
This theorem is referenced by:  icccld  18803  iccmbl  19462  mbfimaicc  19527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-ioo 10922  df-icc 10925
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