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Theorem difreicc 10767
Description: The class difference of  RR and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3162 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
2 rexr 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3 rexr 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 elicc1 10700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
52, 3, 4syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
76notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8 3anass 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
10 ianor 474 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
11 rexr 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
1211pm2.24d 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
1312adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
14 ianor 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
1511ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
16 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
1716ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  -oo  <  x )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
19 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
20 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x )
)
2120bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x 
<->  x  <  A ) )
2218, 19, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  <->  x  <  A ) )
2322biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  <  A )
24 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
252ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  A  e.  RR* )
26 elioo1 10696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2724, 25, 26sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) ) )
30 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B )
)
3130adantll 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  <->  -.  x  <_  B ) )
3211ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  RR* )
33 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  <  x )
34 ltpnf 10463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
3534ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  <  +oo )
363adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  e.  RR* )
38 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +oo  e.  RR*
39 elioo1 10696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
4037, 38, 39sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
4132, 33, 35, 40mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  ( B (,)  +oo ) )
4241ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4331, 42sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  B  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4429, 43orim12d 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4514, 44syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4613, 45jaod 369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4710, 46syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
489, 47syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
497, 48sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
5049expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
51 elun 3316 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) )
5250, 51syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
53 ioossre 10712 . . . . . . . . 9  |-  (  -oo (,) A )  C_  RR
54 ioossre 10712 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,)  +oo )  C_  RR
5553, 54unssi 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  C_  RR
5655sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
5756adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
58 elioo2 10697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5924, 2, 58sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
6059adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
6120biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) )
6261ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) )
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -oo  <  x  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6463com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( 
-oo  <  x  ->  (
x  <  A  ->  -.  A  <_  x )
) ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  ->  (  -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) ) ) )
66653impd 1165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
)  ->  -.  A  <_  x ) )
6760, 66sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  ->  -.  A  <_  x ) )
6836, 38, 39sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo ) ) )
69 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B ) )
7069biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) )
7170ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7271com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  <  +oo  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
7473com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  (
x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
753, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  -> 
( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
77763impd 1165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo )  ->  -.  x  <_  B ) )
7868, 77sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  ->  -.  x  <_  B
) )
7967, 78orim12d 811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_  B
) ) )
8051, 79syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) ) )
8180imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
8281, 14sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
8382intnand 882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8483, 8sylnibr 296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
852, 3anim12i 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
8685adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
874notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8886, 87syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8984, 88mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A [,] B ) )
9057, 89jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
9190ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( x  e.  RR  /\ 
-.  x  e.  ( A [,] B ) ) ) )
9252, 91impbid 183 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  <->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
931, 92syl5bb 248 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A [,] B ) )  <-> 
x  e.  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
9493eqrdv 2281 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659
This theorem is referenced by:  icccld  18276  iccmbl  18923  mbfimaicc  18988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ioo 10660  df-icc 10663
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