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Theorem difreicc 10783
Description: The class difference of  RR and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3175 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
2 rexr 8893 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3 rexr 8893 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 elicc1 10716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
52, 3, 4syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
76notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8 3anass 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
10 ianor 474 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
11 rexr 8893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
1211pm2.24d 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
1312adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
14 ianor 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
1511ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
16 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
1716ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  -oo  <  x )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
19 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
20 ltnle 8918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x )
)
2120bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x 
<->  x  <  A ) )
2218, 19, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  <->  x  <  A ) )
2322biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  <  A )
24 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
252ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  A  e.  RR* )
26 elioo1 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2724, 25, 26sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  A  <_  x )  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A  <_  x  ->  x  e.  (  -oo (,) A ) ) )
30 ltnle 8918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B )
)
3130adantll 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  <->  -.  x  <_  B ) )
3211ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  RR* )
33 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  <  x )
34 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
3534ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  <  +oo )
363adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  B  e.  RR* )
38 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +oo  e.  RR*
39 elioo1 10712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
4037, 38, 39sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  (
x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  < 
x  /\  x  <  +oo ) ) )
4132, 33, 35, 40mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  B  <  x )  ->  x  e.  ( B (,)  +oo ) )
4241ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  < 
x  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4331, 42sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  B  ->  x  e.  ( B (,)  +oo )
) )
4429, 43orim12d 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4514, 44syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4613, 45jaod 369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
4710, 46syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
489, 47syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
497, 48sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  ->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
5049expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
51 elun 3329 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) ) )
5250, 51syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
53 ioossre 10728 . . . . . . . . 9  |-  (  -oo (,) A )  C_  RR
54 ioossre 10728 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,)  +oo )  C_  RR
5553, 54unssi 3363 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  C_  RR
5655sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
5756adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
58 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
5924, 2, 58sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  (  -oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
6059adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
) ) )
6120biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) )
6261ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) )
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -oo  <  x  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x ) ) ) )
6463com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( 
-oo  <  x  ->  (
x  <  A  ->  -.  A  <_  x )
) ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  ->  (  -oo  <  x  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <_  x
) ) ) )
66653impd 1165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <  A
)  ->  -.  A  <_  x ) )
6760, 66sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( 
-oo (,) A )  ->  -.  A  <_  x ) )
6836, 38, 39sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo ) ) )
69 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  <->  -.  x  <_  B ) )
7069biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) )
7170ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7271com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) )
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  <  +oo  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( B  e.  RR*  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
7473com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  (
x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B ) ) ) )
753, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  -> 
( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR*  ->  ( B  <  x  ->  ( x  <  +oo  ->  -.  x  <_  B
) ) ) )
77763impd 1165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  B  <  x  /\  x  <  +oo )  ->  -.  x  <_  B ) )
7868, 77sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B (,)  +oo )  ->  -.  x  <_  B
) )
7967, 78orim12d 811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  (  -oo (,) A
)  \/  x  e.  ( B (,)  +oo ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_  B
) ) )
8051, 79syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) ) )
8180imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_  B ) )
8281, 14sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
8382intnand 882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8483, 8sylnibr 296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
852, 3anim12i 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
8685adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* ) )
874notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8886, 87syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] B
)  <->  -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
8984, 88mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A [,] B ) )
9057, 89jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) ) )
9190ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( (  -oo (,) A
)  u.  ( B (,)  +oo ) )  -> 
( x  e.  RR  /\ 
-.  x  e.  ( A [,] B ) ) ) )
9252, 91impbid 183 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( A [,] B
) )  <->  x  e.  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
931, 92syl5bb 248 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A [,] B ) )  <-> 
x  e.  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) ) )
9493eqrdv 2294 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675
This theorem is referenced by:  icccld  18292  iccmbl  18939  mbfimaicc  19004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ioo 10676  df-icc 10679
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