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Theorem difxp 6409
Description: Difference of Cartesian products, expressed in terms of a union of Cartesian products of differences. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
difxp  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )

Proof of Theorem difxp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3460 . . 3  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)
2 relxp 5012 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  D )
3 relss 4992 . . 3  |-  ( ( ( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)  ->  ( Rel  ( C  X.  D
)  ->  Rel  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) ) ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  Rel  (
( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )
5 relxp 5012 . . 3  |-  Rel  (
( C  \  A
)  X.  D )
6 relxp 5012 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) )
7 relun 5020 . . 3  |-  ( Rel  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( Rel  ( ( C  \  A )  X.  D )  /\  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
85, 6, 7mpbir2an 888 . 2  |-  Rel  (
( ( C  \  A )  X.  D
)  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
9 ianor 476 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  <->  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B )
)
109anbi2i 677 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) ) )
11 andi 839 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) )  <->  ( (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A )  \/  (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B ) ) )
1210, 11bitri 242 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
13 opelxp 4937 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )
14 opelxp 4937 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1514notbii 289 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1613, 15anbi12i 680 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
17 opelxp 4937 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( x  e.  ( C  \  A
)  /\  y  e.  D ) )
18 eldif 3316 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1918anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D ) )
20 an32 775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D )  <->  ( (
x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
) )
2119, 20bitri 242 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A ) )
2217, 21bitri 242 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A )
)
23 eldif 3316 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  B )  <->  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  B ) )
2423anbi2i 677 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
25 opelxp 4937 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) ) )
26 anass 632 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2724, 25, 263bitr4i 270 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B )
)
2822, 27orbi12i 509 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2912, 16, 283bitr4i 270 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A
)  X.  D )  \/  <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
30 eldif 3316 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  D )  /\  -.  <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
31 elun 3474 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( C 
\  A )  X.  D )  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4i 270 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
334, 8, 32eqrelriiv 4999 1  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    \ cdif 3303    u. cun 3304    C_ wss 3306   <.cop 3841    X. cxp 4905   Rel wrel 4912
This theorem is referenced by:  difxp1  6410  difxp2  6411  evlslem4  16595  txcld  17666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-opab 4292  df-xp 4913  df-rel 4914
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