MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difxp Unicode version

Theorem difxp 6343
Description: Difference of Cartesian products, expressed in terms of a union of Cartesian products of differences. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
difxp  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )

Proof of Theorem difxp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3438 . . 3  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)
2 relxp 4946 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  D )
3 relss 4926 . . 3  |-  ( ( ( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)  ->  ( Rel  ( C  X.  D
)  ->  Rel  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) ) ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  Rel  (
( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )
5 relxp 4946 . . 3  |-  Rel  (
( C  \  A
)  X.  D )
6 relxp 4946 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) )
7 relun 4954 . . 3  |-  ( Rel  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( Rel  ( ( C  \  A )  X.  D )  /\  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
85, 6, 7mpbir2an 887 . 2  |-  Rel  (
( ( C  \  A )  X.  D
)  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
9 ianor 475 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  <->  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B )
)
109anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) ) )
11 andi 838 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) )  <->  ( (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A )  \/  (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B ) ) )
1210, 11bitri 241 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
13 opelxp 4871 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )
14 opelxp 4871 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1514notbii 288 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1613, 15anbi12i 679 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
17 opelxp 4871 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( x  e.  ( C  \  A
)  /\  y  e.  D ) )
18 eldif 3294 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1918anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D ) )
20 an32 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D )  <->  ( (
x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
) )
2119, 20bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A ) )
2217, 21bitri 241 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A )
)
23 eldif 3294 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  B )  <->  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  B ) )
2423anbi2i 676 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
25 opelxp 4871 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) ) )
26 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2724, 25, 263bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B )
)
2822, 27orbi12i 508 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2912, 16, 283bitr4i 269 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A
)  X.  D )  \/  <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
30 eldif 3294 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  D )  /\  -.  <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
31 elun 3452 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( C 
\  A )  X.  D )  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4i 269 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
334, 8, 32eqrelriiv 4933 1  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3281    u. cun 3282    C_ wss 3284   <.cop 3781    X. cxp 4839   Rel wrel 4846
This theorem is referenced by:  difxp1  6344  difxp2  6345  evlslem4  16523  txcld  17592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pr 4367
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-opab 4231  df-xp 4847  df-rel 4848
  Copyright terms: Public domain W3C validator