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Theorem difxp 6153
Description: Difference of Cartesian products, expressed in terms of a union of Cartesian products of differences. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
difxp  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )

Proof of Theorem difxp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3303 . . 3  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)
2 relxp 4794 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  D )
3 relss 4775 . . 3  |-  ( ( ( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )  C_  ( C  X.  D
)  ->  ( Rel  ( C  X.  D
)  ->  Rel  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) ) ) )
41, 2, 3mp2 17 . 2  |-  Rel  (
( C  X.  D
)  \  ( A  X.  B ) )
5 relxp 4794 . . 3  |-  Rel  (
( C  \  A
)  X.  D )
6 relxp 4794 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) )
7 relun 4802 . . 3  |-  ( Rel  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( Rel  ( ( C  \  A )  X.  D )  /\  Rel  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
85, 6, 7mpbir2an 886 . 2  |-  Rel  (
( ( C  \  A )  X.  D
)  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
9 ianor 474 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  <->  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B )
)
109anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) ) )
11 andi 837 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  ( -.  x  e.  A  \/  -.  y  e.  B
) )  <->  ( (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A )  \/  (
( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B ) ) )
1210, 11bitri 240 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
13 opelxp 4719 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )
14 opelxp 4719 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1514notbii 287 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1613, 15anbi12i 678 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
17 opelxp 4719 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( x  e.  ( C  \  A
)  /\  y  e.  D ) )
18 eldif 3162 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1918anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D ) )
20 an32 773 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
)  /\  y  e.  D )  <->  ( (
x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
) )
2119, 20bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( C 
\  A )  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  x  e.  A ) )
2217, 21bitri 240 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  <->  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A )
)
23 eldif 3162 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  B )  <->  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  B ) )
2423anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
25 opelxp 4719 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( x  e.  C  /\  y  e.  ( D  \  B ) ) )
26 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D
)  /\  -.  y  e.  B )  <->  ( x  e.  C  /\  (
y  e.  D  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2724, 25, 263bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) )  <-> 
( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B )
)
2822, 27orbi12i 507 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A )  X.  D
)  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  x  e.  A
)  \/  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  B
) ) )
2912, 16, 283bitr4i 268 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( C  X.  D
)  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( C  \  A
)  X.  D )  \/  <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
30 eldif 3162 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( C  X.  D )  /\  -.  <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
31 elun 3316 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( C 
\  A )  X.  D )  \/  <. x ,  y >.  e.  ( C  X.  ( D 
\  B ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4i 268 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( C  X.  D )  \  ( A  X.  B ) )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) ) )
334, 8, 32eqrelriiv 4781 1  |-  ( ( C  X.  D ) 
\  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( C 
\  A )  X.  D )  u.  ( C  X.  ( D  \  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   <.cop 3643    X. cxp 4687   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  difxp1  6154  difxp2  6155  evlslem4  16245  txcld  17298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696
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