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Theorem digit1 11515
Description: Two ways to express the  K th digit in the decimal expansion of a number  A (when base  B  =  10). 
K  =  1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
digit1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )

Proof of Theorem digit1
StepHypRef Expression
1 digit2 11514 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
213coml 1161 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
323expa 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) ) )
43oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
5 nnre 10009 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
6 nnnn0 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
7 reexpcl 11400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  RR )
85, 6, 7syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR )
9 remulcl 9077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ K
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A
)  e.  RR )
108, 9sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  e.  RR )
11 reflcl 11207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ K
)  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  e.  RR )
13 nnrp 10623 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
1413ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
1512, 14modcld 11256 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR )
16 nnexpcl 11396 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  NN )
176, 16sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  NN )
1817nnrpd 10649 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR+ )
1918adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR+ )
20 modge0 11259 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B ) )
2112, 14, 20syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
225ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
238adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR )
24 modlt 11260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
)  <  B )
2512, 14, 24syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  B
)
26 nncn 10010 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
27 exp1 11389 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2928adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
305adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
31 nnge1 10028 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
3231adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  1  <_  B )
33 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  NN )
34 nnuz 10523 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
36 leexp2a 11437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <_  B  /\  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( B ^ 1 )  <_ 
( B ^ K
) )
3730, 32, 35, 36syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  <_  ( B ^ K ) )
3829, 37eqbrtrrd 4236 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
3938adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
4015, 22, 23, 25, 39ltletrd 9232 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) )
41 modid 11272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR  /\  ( B ^ K
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  /\  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
) )
4215, 19, 21, 40, 41syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
43 simpll 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  NN )
44 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
45 reexpcl 11400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
465, 44, 45syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
47 remulcl 9077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR )
4846, 47sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
49 nnexpcl 11396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5044, 49sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5150adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  NN )
52 modmulnn 11267 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR  /\  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
5343, 48, 51, 52syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )  <_  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
54 expm1t 11410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  B ) )
55 expcl 11401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
5644, 55sylan2 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
57 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
5856, 57mulcomd 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
5954, 58eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6026, 59sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6160adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  =  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )
6261oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
6361oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) )  x.  A ) )
6426ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
6526, 44, 55syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
6665adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  CC )
67 recn 9082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6867adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
6964, 66, 68mulassd 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7063, 69eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7170fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )
7271, 61oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
7353, 62, 723brtr4d 4244 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
74 reflcl 11207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )
7548, 74syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) )  e.  RR )
76 remulcl 9077 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
7722, 75, 76syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
78 modsubdir 11287 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ K )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
7912, 77, 19, 78syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_
`  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
8073, 79mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
814, 42, 803eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) ) ) )
82813impa 1149 . 2  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
83823comr 1162 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   |_cfl 11203    mod cmo 11252   ^cexp 11384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385
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