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Theorem digit1 11251
Description: Two ways to express the  K th digit in the decimal expansion of a number  A (when base  B  =  10). 
K  =  1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)
Assertion
Ref Expression
digit1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )

Proof of Theorem digit1
StepHypRef Expression
1 digit2 11250 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
213coml 1158 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) ) )
323expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) ) )
43oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
5 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
6 nnnn0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
7 reexpcl 11136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  RR )
85, 6, 7syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR )
9 remulcl 8838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ K
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A
)  e.  RR )
108, 9sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  e.  RR )
11 reflcl 10944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ K
)  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  e.  RR )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  e.  RR )
13 nnrp 10379 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
1413ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
1512, 14modcld 10993 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR )
16 nnexpcl 11132 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( B ^ K
)  e.  NN )
176, 16sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  NN )
1817nnrpd 10405 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  e.  RR+ )
1918adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR+ )
20 modge0 10996 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B ) )
2112, 14, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
225ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
238adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  e.  RR )
24 modlt 10997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
)  <  B )
2512, 14, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  B
)
26 nncn 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
27 exp1 11125 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
305adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
31 nnge1 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
3231adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  1  <_  B )
33 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  NN )
34 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
36 leexp2a 11173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <_  B  /\  K  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( B ^ 1 )  <_ 
( B ^ K
) )
3730, 32, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ 1 )  <_  ( B ^ K ) )
3829, 37eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
3938adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  <_  ( B ^ K ) )
4015, 22, 23, 25, 39ltletrd 8992 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) )
41 modid 11009 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  e.  RR  /\  ( B ^ K
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  /\  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  <  ( B ^ K ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  B
) )
4215, 19, 21, 40, 41syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  B )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B ) )
43 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  NN )
44 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  -  1 )  e.  NN0 )
45 reexpcl 11136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
465, 44, 45syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR )
47 remulcl 8838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR )
4846, 47sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
49 nnexpcl 11132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5044, 49sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )
5150adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  NN )
52 modmulnn 11004 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
)  e.  RR  /\  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
5343, 48, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )  <_  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) ) )
54 expm1t 11146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  B ) )
55 expcl 11137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( K  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
5644, 55sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
57 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
5856, 57mulcomd 8872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
5954, 58eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6026, 59sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ K
)  =  ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) ) )
6160adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^ K )  =  ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) ) )
6261oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
6361oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( ( B  x.  ( B ^ ( K  - 
1 ) ) )  x.  A ) )
6426ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
6526, 44, 55syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( B ^ ( K  -  1 ) )  e.  CC )
6665adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B ^
( K  -  1 ) )  e.  CC )
67 recn 8843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6867adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
6964, 66, 68mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( B ^
( K  -  1 ) ) )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7063, 69eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B ^ K )  x.  A )  =  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )
7170fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )
7271, 61oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B  x.  ( B ^ ( K  -  1 ) ) ) ) )
7353, 62, 723brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) )  <_  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) ) )
74 reflcl 10944 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )
7548, 74syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) )  e.  RR )
76 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  RR )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
7722, 75, 76syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR )
78 modsubdir 11024 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ K )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
7912, 77, 19, 78syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( B  x.  ( |_
`  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  - 
1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) ) )
8073, 79mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )  mod  ( B ^ K ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
814, 42, 803eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod 
B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A
) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^
( K  -  1 ) )  x.  A
) ) )  mod  ( B ^ K
) ) ) )
82813impa 1146 . 2  |-  ( ( B  e.  NN  /\  K  e.  NN  /\  A  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
83823comr 1159 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
( B ^ K
)  x.  A ) )  mod  B )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B ^ K )  x.  A ) )  mod  ( B ^ K ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( ( B ^ ( K  -  1 ) )  x.  A ) ) )  mod  ( B ^ K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   |_cfl 10940    mod cmo 10989   ^cexp 11120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121
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