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Theorem dih1 32146
Description: The value of isomorphism H at the lattice unit is the set of all vectors. (Contributed by NM, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1.m  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
dih1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih1.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih1.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih1.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
dih1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .1.  )  =  V )

Proof of Theorem dih1
Dummy variables  f 
g  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dih1.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
31, 2dihvalrel 32139 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  .1.  ) )
4 relxp 4985 . . 3  |-  Rel  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
7 dih1.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 dih1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
91, 5, 6, 7, 8dvhvbase 31947 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  =  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )
109releqd 4963 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Rel  V  <->  Rel  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) ) )
114, 10mpbiri 226 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  V )
12 id 21 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hlop 30222 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
1413ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  K  e.  OP )
15 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
17 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
19 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
20 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2118, 19, 20, 1lhpocnel 30877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  ( ( oc `  K ) `  W
) ( le `  K ) W ) )
2221adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( ( oc
`  K ) `  W ) ( le
`  K ) W ) )
23 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( g `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  W )
)  =  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) ( g `  ( ( oc `  K ) `  W
) )  =  ( ( oc `  K
) `  W )
)
2418, 20, 1, 5, 23ltrniotacl 31438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( ( oc
`  K ) `  W ) ( le
`  K ) W )  /\  ( ( ( oc `  K
) `  W )  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( ( oc
`  K ) `  W ) ( le
`  K ) W ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2515, 22, 22, 24syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
261, 5, 6tendocl 31626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2715, 17, 25, 26syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
281, 5ltrncnv 31005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  ->  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
2927, 28syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  `' ( s `
 ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
301, 5ltrnco 31578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) )  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
3115, 16, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
32 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
33 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
3432, 1, 5, 33trlcl 31023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ) )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
3531, 34syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
36 dih1.m . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
3732, 18, 36ople1 30051 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ) ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) ) ) ( le `  K )  .1.  )
3814, 35, 37syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) ) ) ( le `  K )  .1.  )
3938ex 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ) ) ) ( le `  K )  .1.  ) )
4039pm4.71d 617 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  <->  ( (
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) ) ) ( le `  K )  .1.  )
) )
419eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  V  <->  <. f ,  s >.  e.  (
( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) ) )
42 opelxp 4910 . . . . 5  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) )
4341, 42syl6bb 254 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  V  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) ) ) )
4413adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  OP )
4532, 36op1cl 30045 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
4644, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .1.  e.  ( Base `  K ) )
47 hlpos 30225 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4847adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  Poset )
4932, 1lhpbase 30857 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
5049adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
51 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
5236, 51, 1lhp1cvr 30858 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
)  .1.  )
5332, 18, 51cvrnle 30140 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  W  e.  ( Base `  K )  /\  .1.  e.  ( Base `  K
) )  /\  W
(  <o  `  K )  .1.  )  ->  -.  .1.  ( le `  K ) W )
5448, 50, 46, 52, 53syl31anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  -.  .1.  ( le
`  K ) W )
55 hlol 30221 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
56 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
5732, 56, 36olm12 30088 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OL  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  -> 
(  .1.  ( meet `  K ) W )  =  W )
5855, 49, 57syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  .1.  ( meet `  K ) W )  =  W )
5958oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  W ) ( join `  K ) (  .1.  ( meet `  K
) W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 W ) (
join `  K ) W ) )
60 hllat 30223 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
6160adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  Lat )
6232, 19opoccl 30054 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )
6313, 49, 62syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K ) )
64 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6532, 64latjcom 14490 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  W
) ( join `  K
) W )  =  ( W ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 W ) ) )
6661, 63, 50, 65syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  W ) ( join `  K ) W )  =  ( W (
join `  K )
( ( oc `  K ) `  W
) ) )
6732, 19, 64, 36opexmid 30067 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( W ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 W ) )  =  .1.  )
6813, 49, 67syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( W ( join `  K ) ( ( oc `  K ) `
 W ) )  =  .1.  )
6959, 66, 683eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  W ) ( join `  K ) (  .1.  ( meet `  K
) W ) )  =  .1.  )
70 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( ( oc `  K ) `
 W )  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
71 vex 2961 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
72 vex 2961 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
7332, 18, 64, 56, 20, 1, 70, 5, 33, 6, 2, 23, 71, 72dihopelvalc 32109 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  .1.  e.  ( Base `  K )  /\  -.  .1.  ( le
`  K ) W )  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( ( oc `  K ) `  W
) ( le `  K ) W )  /\  ( ( ( oc `  K ) `
 W ) (
join `  K )
(  .1.  ( meet `  K ) W ) )  =  .1.  )
)  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  .1.  )  <->  ( ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( g `  (
( oc `  K
) `  W )
)  =  ( ( oc `  K ) `
 W ) ) ) ) ) ( le `  K )  .1.  ) ) )
7412, 46, 54, 21, 69, 73syl122anc 1194 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  .1.  )  <->  ( ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  s  e.  ( ( TEndo `  K
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)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( f  o.  `' ( s `  ( iota_ g  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( g `
 ( ( oc
`  K ) `  W ) )  =  ( ( oc `  K ) `  W
) ) ) ) ) ( le `  K )  .1.  )
) )
7540, 43, 743bitr4rd 279 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  .1.  )  <->  <. f ,  s
>.  e.  V ) )
7675eqrelrdv2 4977 . 2  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 .1.  )  /\  Rel  V )  /\  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )  -> 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3819   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   `'ccnv 4879    o. ccom 4884   Rel wrel 4885   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   occoc 13539   Posetcpo 14399   joincjn 14403   meetcmee 14404   1.cp1 14469   Latclat 14476   OPcops 30032   OLcol 30034    <o ccvr 30122   Atomscatm 30123   HLchlt 30210   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960   trLctrl 31017   TEndoctendo 31611   DVecHcdvh 31938   DIsoHcdih 32088
This theorem is referenced by:  dih1rn  32147  dih1cnv  32148  dihglb2  32202  doch0  32218  dochocss  32226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tendo 31614  df-edring 31616  df-disoa 31889  df-dvech 31939  df-dib 31999  df-dic 32033  df-dih 32089
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