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Theorem dih1dimatlem 32141
Description: Lemma for dih1dimat 32142. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih1dimat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih1dimat.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih1dimat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dih1dimat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dih1dimat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dih1dimat.c  |-  C  =  ( Atoms `  K )
dih1dimat.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dih1dimat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dih1dimat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dih1dimat.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dih1dimat.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dih1dimat.d  |-  F  =  (Scalar `  U )
dih1dimat.j  |-  J  =  ( invr `  F
)
dih1dimat.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dih1dimat.m  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dih1dimat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dih1dimat.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dih1dimat.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dih1dimat.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Distinct variable groups:    .<_ , h    B, h    f, s, E    C, h    h, J    f, N, s    f, h, K, s    T, f, h, s    U, f, h, s    f, H, h, s    f, V, s    f, W, h, s    f, I, s    P, h
Allowed substitution hints:    A( f, h, s)    B( f, s)    C( f, s)    D( f, h, s)    P( f, s)    R( f, h, s)    S( f, h, s)    .x. ( f, h, s)    E( h)    F( f, h, s)    G( f, h, s)    I( h)    J( f,
s)    .<_ ( f, s)    N( h)    O( f, h, s)    V( h)    .0. ( f, h, s)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables  v 
g  i  p  r  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dih1dimat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 id 19 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31921 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
5 dih1dimat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dih1dimat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 dih1dimat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 dih1dimat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
95, 6, 7, 8islsat 29803 . . . 4  |-  ( U  e.  LVec  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) ) )
104, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) D  =  ( N `  { v } ) ) )
1110biimpa 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) )
12 eldifi 3311 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  -> 
v  e.  V )
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 31899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  =  ( T  X.  E ) )
1615eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  V  <->  v  e.  ( T  X.  E ) ) )
1712, 16syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) ) )
1817imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  s  =  O )
2019opeq2d 3819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  <. f ,  s >.  =  <. f ,  O >. )
2120sneqd 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  { <. f ,  s >. }  =  { <. f ,  O >. } )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  =  ( N `  { <. f ,  O >. } ) )
23 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  K
)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
2624, 1, 13, 25trlcl 30975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .<_  =  ( le `  K )
2827, 1, 13, 25trlle 30995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  .<_  W )
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
30 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 32049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R `
 f )  e.  B  /\  ( R `
 f )  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
) )
3223, 26, 28, 31syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( R `  f
) ) )
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 31980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
)  =  ( N `
 { <. f ,  O >. } ) )
3532, 34eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  =  ( I `  ( R `
 f ) ) )
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 32079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> S
)
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I : B -1-1-> S )
39 f1fn 5454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I : B -1-1-> S  ->  I  Fn  B )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I  Fn  B )
41 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( R `  f )  e.  B )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  e.  ran  I
)
4240, 26, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  e.  ran  I )
4335, 42eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I )
4443adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I
)
4544adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e. 
ran  I )
4622, 45eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
47 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  (Scalar `  U )
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 31895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  F
)  =  E )
5147, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( Base `  F )  =  E )
5251rexeqdv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) ) )
53 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  t  e.  E )
55 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)
56 opelxpi 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  -> 
<. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E
) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) )
58 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  ( .s `  U )
591, 13, 14, 2, 58dvhvscacl 31915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) ) )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
6053, 54, 57, 59syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
61 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E
)  ->  ( u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6362rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6463pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )
) ) )
65 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  f  e.  T )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  f  e.  T )
67 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  e.  E )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  s  e.  E )
691, 13, 14, 2, 58dvhopvsca 31914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. )
7053, 54, 66, 68, 69syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
7170eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  <->  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
7271rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. ) )
7372anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) ) )
7452, 64, 733bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) ) )
7574abbidv 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  |  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) } )
76 df-rab 2565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { u  |  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) }
7775, 76syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } )
78 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  C_  ( T  X.  E )
79 relxp 4810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ( T  X.  E )
80 relss 4791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  C_  ( T  X.  E )  -> 
( Rel  ( T  X.  E )  ->  Rel  { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } ) )
8178, 79, 80mp2 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }
82 relopab 4828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) }
83 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  i  e. 
_V
84 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  p  e. 
_V
85 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  i  ->  (
g  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( r `  G
) ) )
8685anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  i  ->  (
( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) ) )
87 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  p  ->  (
r `  G )  =  ( p `  G ) )
8887eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
i  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( p `  G
) ) )
89 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
r  e.  E  <->  p  e.  E ) )
9088, 89anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  p  ->  (
( i  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( p `  G
)  /\  p  e.  E ) ) )
9183, 84, 86, 90opelopab 4302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ <. g ,  r
>.  |  ( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E ) }  <->  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )
92 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  =  ( Atoms `  K )
93 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
94 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( invr `  F
)
95 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
961, 2, 29, 8, 24, 27, 92, 93, 13, 25, 14, 33, 48, 94, 5, 58, 36, 6, 7, 95dih1dimatlem0 32140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
97963expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
98 opelxp 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  <->  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )
9983, 84opth 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  ( i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
10099rexbii 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
10198, 100anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )
10297, 101syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
) )
103 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( u  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) )
104103rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
105104elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. }  <->  ( <. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) )
106102, 105syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. } ) )
10791, 106syl5rbb 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( <. i ,  p >.  e.  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  <->  <. i ,  p >.  e.  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } ) )
10881, 82, 107eqrelrdv 4799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
10977, 108eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
1101, 2, 47dvhlmod 31922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  U  e.  LMod )
1111, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 31900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  V )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  <. f ,  s >.  e.  V
)
11348, 49, 5, 58, 6lspsn 15775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. f ,  s >.  e.  V
)  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
114110, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  =/=  O )
11624, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 94tendoinvcl 31916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  e.  E  /\  ( J `  s )  =/=  O ) )
117116simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( J `  s )  e.  E
)
11847, 67, 115, 117syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( J `  s )  e.  E
)
1191, 13, 14tendocl 31578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J `  s )  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
12047, 118, 65, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
12127, 92, 1, 93lhpocnel2 30830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12247, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12327, 92, 1, 13ltrnel 30950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
12447, 120, 122, 123syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
125 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
12627, 92, 1, 125, 29dihvalcqat 32051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12747, 124, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12827, 92, 1, 93, 13, 14, 125, 95dicval2 31991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
12947, 124, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
130127, 129eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
131109, 114, 1303eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  ( I `  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) ) )
13224, 1, 29dihfn 32080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
133132adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  I  Fn  B )
134133adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  I  Fn  B )
135 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  HL )
136 hlop 30174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  OP )
138 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  W  e.  H )
13924, 1lhpbase 30809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  W  e.  B )
141 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
14224, 141opoccl 30006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  B )
143137, 140, 142syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  B
)
14493, 143syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  P  e.  B )
14524, 1, 13ltrncl 30936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
14647, 120, 144, 145syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
147 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  B )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
148134, 146, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
149131, 148eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  e.  ran  I )
15046, 149pm2.61dane 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
151150ralrimivva 2648 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
152 sneq 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  { v }  =  { <. f ,  s >. } )
153152fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( N `  { v } )  =  ( N `  { <. f ,  s
>. } ) )
154153eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I ) )
155154ralxp 4843 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
156151, 155sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `  {
v } )  e. 
ran  I )
157156r19.21bi 2654 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( T  X.  E ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
15818, 157syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
159 eleq1a 2365 . . . . 5  |-  ( ( N `  { v } )  e.  ran  I  ->  ( D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
160158, 159syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( D  =  ( N `  { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
161160rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
162161adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `
 { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
16311, 162mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   lecple 13231   occoc 13232   0gc0g 13416   invrcinvr 15469   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871  LSAtomsclsa 29786   OPcops 29984   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969   TEndoctendo 31563   DVecHcdvh 31890   DIsoBcdib 31950   DIsoCcdic 31984   DIsoHcdih 32040
This theorem is referenced by:  dih1dimat  32142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041
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