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Theorem dih1dimatlem 32201
Description: Lemma for dih1dimat 32202. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih1dimat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih1dimat.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih1dimat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dih1dimat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dih1dimat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dih1dimat.c  |-  C  =  ( Atoms `  K )
dih1dimat.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dih1dimat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dih1dimat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dih1dimat.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dih1dimat.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dih1dimat.d  |-  F  =  (Scalar `  U )
dih1dimat.j  |-  J  =  ( invr `  F
)
dih1dimat.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dih1dimat.m  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dih1dimat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dih1dimat.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dih1dimat.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dih1dimat.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Distinct variable groups:    .<_ , h    B, h    f, s, E    C, h    h, J    f, N, s    f, h, K, s    T, f, h, s    U, f, h, s    f, H, h, s    f, V, s    f, W, h, s    f, I, s    P, h
Allowed substitution hints:    A( f, h, s)    B( f, s)    C( f, s)    D( f, h, s)    P( f, s)    R( f, h, s)    S( f, h, s)    .x. ( f, h, s)    E( h)    F( f, h, s)    G( f, h, s)    I( h)    J( f,
s)    .<_ ( f, s)    N( h)    O( f, h, s)    V( h)    .0. ( f, h, s)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables  v 
g  i  p  r  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dih1dimat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 id 21 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31981 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
5 dih1dimat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dih1dimat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 dih1dimat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 dih1dimat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
95, 6, 7, 8islsat 29863 . . . 4  |-  ( U  e.  LVec  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) ) )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) D  =  ( N `  { v } ) ) )
1110biimpa 472 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) )
12 eldifi 3471 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  -> 
v  e.  V )
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 31959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  =  ( T  X.  E ) )
1615eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  V  <->  v  e.  ( T  X.  E ) ) )
1712, 16syl5ib 212 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) ) )
1817imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) )
19 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  s  =  O )
2019opeq2d 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  <. f ,  s >.  =  <. f ,  O >. )
2120sneqd 3829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  { <. f ,  s >. }  =  { <. f ,  O >. } )
2221fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  =  ( N `  { <. f ,  O >. } ) )
23 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  K
)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
2624, 1, 13, 25trlcl 31035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .<_  =  ( le `  K )
2827, 1, 13, 25trlle 31055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  .<_  W )
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
30 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 32109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R `
 f )  e.  B  /\  ( R `
 f )  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
) )
3223, 26, 28, 31syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( R `  f
) ) )
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 32040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
)  =  ( N `
 { <. f ,  O >. } ) )
3532, 34eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  =  ( I `  ( R `
 f ) ) )
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 32139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> S
)
3837adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I : B -1-1-> S )
39 f1fn 5643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I : B -1-1-> S  ->  I  Fn  B )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I  Fn  B )
41 fnfvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( R `  f )  e.  B )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  e.  ran  I
)
4240, 26, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  e.  ran  I )
4335, 42eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I )
4443adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I
)
4544adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e. 
ran  I )
4622, 45eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
47 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  (Scalar `  U )
49 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 31955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  F
)  =  E )
5147, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( Base `  F )  =  E )
5251rexeqdv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) ) )
53 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  t  e.  E )
55 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  -> 
<. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E
) )
5655ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) )
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  ( .s `  U )
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 31975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) ) )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
5953, 54, 56, 58syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
60 eleq1a 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E
)  ->  ( u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6261rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6362pm4.71rd 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )
) ) )
64 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  f  e.  T )
6564adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  f  e.  T )
66 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  e.  E )
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  s  e.  E )
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 31974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. )
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
7069eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  <->  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
7170rexbidva 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. ) )
7271anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) ) )
7352, 63, 723bitrd 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) ) )
7473abbidv 2552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  |  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) } )
75 df-rab 2716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { u  |  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) }
7674, 75syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } )
77 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  C_  ( T  X.  E )
78 relxp 4986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ( T  X.  E )
79 relss 4966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  C_  ( T  X.  E )  -> 
( Rel  ( T  X.  E )  ->  Rel  { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } ) )
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }
81 relopab 5004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) }
82 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  i  e. 
_V
83 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  p  e. 
_V
84 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  i  ->  (
g  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( r `  G
) ) )
8584anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  i  ->  (
( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) ) )
86 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  p  ->  (
r `  G )  =  ( p `  G ) )
8786eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
i  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( p `  G
) ) )
88 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
r  e.  E  <->  p  e.  E ) )
8987, 88anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  p  ->  (
( i  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( p `  G
)  /\  p  e.  E ) ) )
9082, 83, 85, 89opelopab 4479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ <. g ,  r
>.  |  ( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E ) }  <->  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  =  ( Atoms `  K )
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( invr `  F
)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 32200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
96953expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
97 opelxp 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  <->  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )
9882, 83opth 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  ( i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
9998rexbii 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
10097, 99anbi12i 680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )
10196, 100syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
) )
102 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( u  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) )
103102rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
104103elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. }  <->  ( <. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) )
105101, 104syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. } ) )
10690, 105syl5rbb 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( <. i ,  p >.  e.  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  <->  <. i ,  p >.  e.  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } ) )
10780, 81, 106eqrelrdv 4975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
10876, 107eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
1091, 2, 47dvhlmod 31982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  U  e.  LMod )
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 31960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  V )
111110adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  <. f ,  s >.  e.  V
)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 16083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. f ,  s >.  e.  V
)  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
113109, 111, 112syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
114 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  =/=  O )
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 31976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  e.  E  /\  ( J `  s )  =/=  O ) )
116115simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( J `  s )  e.  E
)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( J `  s )  e.  E
)
1181, 13, 14tendocl 31638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J `  s )  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 30890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12147, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12227, 91, 1, 13ltrnel 31010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
12347, 119, 121, 122syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
124 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 32111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12647, 123, 125syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 32051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
12847, 123, 127syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
129126, 128eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
130108, 113, 1293eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  ( I `  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) ) )
13124, 1, 29dihfn 32140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
132131adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  I  Fn  B )
133132adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  I  Fn  B )
134 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  HL )
135 hlop 30234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  OP )
13724, 1lhpbase 30869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
138137ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  W  e.  B )
139 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
14024, 139opoccl 30066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  B )
141136, 138, 140syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  B
)
14292, 141syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  P  e.  B )
14324, 1, 13ltrncl 30996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
145 fnfvelrn 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  B )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
146133, 144, 145syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
147130, 146eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  e.  ran  I )
14846, 147pm2.61dane 2684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
149148ralrimivva 2800 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
150 sneq 3827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  { v }  =  { <. f ,  s >. } )
151150fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( N `  { v } )  =  ( N `  { <. f ,  s
>. } ) )
152151eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I ) )
153152ralxp 5019 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
154149, 153sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `  {
v } )  e. 
ran  I )
155154r19.21bi 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( T  X.  E ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
15618, 155syldan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
157 eleq1a 2507 . . . . 5  |-  ( ( N `  { v } )  e.  ran  I  ->  ( D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
158156, 157syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( D  =  ( N `  { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
159158rexlimdva 2832 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
160159adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `
 { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
16111, 160mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4215   {copab 4268    e. cmpt 4269    _I cid 4496    X. cxp 4879   ran crn 4882    |` cres 4883    o. ccom 4885   Rel wrel 4886    Fn wfn 5452   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   iota_crio 6545   Basecbs 13474  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   lecple 13541   occoc 13542   0gc0g 13728   invrcinvr 15781   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052   LVecclvec 16179  LSAtomsclsa 29846   OPcops 30044   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972   trLctrl 31029   TEndoctendo 31623   DVecHcdvh 31950   DIsoBcdib 32010   DIsoCcdic 32044   DIsoHcdih 32100
This theorem is referenced by:  dih1dimat  32202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101
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