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Theorem dih1dimatlem 31519
Description: Lemma for dih1dimat 31520. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih1dimat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih1dimat.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih1dimat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dih1dimat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dih1dimat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dih1dimat.c  |-  C  =  ( Atoms `  K )
dih1dimat.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dih1dimat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dih1dimat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dih1dimat.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dih1dimat.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dih1dimat.d  |-  F  =  (Scalar `  U )
dih1dimat.j  |-  J  =  ( invr `  F
)
dih1dimat.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dih1dimat.m  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dih1dimat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dih1dimat.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dih1dimat.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dih1dimat.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Distinct variable groups:    .<_ , h    B, h    f, s, E    C, h    h, J    f, N, s    f, h, K, s    T, f, h, s    U, f, h, s    f, H, h, s    f, V, s    f, W, h, s    f, I, s    P, h
Allowed substitution hints:    A( f, h, s)    B( f, s)    C( f, s)    D( f, h, s)    P( f, s)    R( f, h, s)    S( f, h, s)    .x. ( f, h, s)    E( h)    F( f, h, s)    G( f, h, s)    I( h)    J( f,
s)    .<_ ( f, s)    N( h)    O( f, h, s)    V( h)    .0. ( f, h, s)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables  v 
g  i  p  r  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dih1dimat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 id 19 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31299 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
5 dih1dimat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dih1dimat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 dih1dimat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 dih1dimat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
95, 6, 7, 8islsat 29181 . . . 4  |-  ( U  e.  LVec  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) ) )
104, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) D  =  ( N `  { v } ) ) )
1110biimpa 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) )
12 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  -> 
v  e.  V )
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 31277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  =  ( T  X.  E ) )
1615eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  V  <->  v  e.  ( T  X.  E ) ) )
1712, 16syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) ) )
1817imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  s  =  O )
2019opeq2d 3803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  <. f ,  s >.  =  <. f ,  O >. )
2120sneqd 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  { <. f ,  s >. }  =  { <. f ,  O >. } )
2221fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  =  ( N `  { <. f ,  O >. } ) )
23 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  K
)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
2624, 1, 13, 25trlcl 30353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .<_  =  ( le `  K )
2827, 1, 13, 25trlle 30373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  .<_  W )
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 31427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R `
 f )  e.  B  /\  ( R `
 f )  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
) )
3223, 26, 28, 31syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( R `  f
) ) )
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 31358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
)  =  ( N `
 { <. f ,  O >. } ) )
3532, 34eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  =  ( I `  ( R `
 f ) ) )
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 31457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> S
)
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I : B -1-1-> S )
39 f1fn 5438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I : B -1-1-> S  ->  I  Fn  B )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I  Fn  B )
41 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( R `  f )  e.  B )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  e.  ran  I
)
4240, 26, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  e.  ran  I )
4335, 42eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I )
4443adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I
)
4544adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e. 
ran  I )
4622, 45eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
47 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  (Scalar `  U )
49 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 31273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  F
)  =  E )
5147, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( Base `  F )  =  E )
5251rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) ) )
53 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  t  e.  E )
55 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)
56 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  -> 
<. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E
) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) )
58 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  ( .s `  U )
591, 13, 14, 2, 58dvhvscacl 31293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) ) )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
6053, 54, 57, 59syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
61 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E
)  ->  ( u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6362rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6463pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )
) ) )
65 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  f  e.  T )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  f  e.  T )
67 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  e.  E )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  s  e.  E )
691, 13, 14, 2, 58dvhopvsca 31292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. )
7053, 54, 66, 68, 69syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
7170eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  <->  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
7271rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. ) )
7372anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) ) )
7452, 64, 733bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) ) )
7574abbidv 2397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  |  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) } )
76 df-rab 2552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { u  |  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) }
7775, 76syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } )
78 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  C_  ( T  X.  E )
79 relxp 4794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ( T  X.  E )
80 relss 4775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  C_  ( T  X.  E )  -> 
( Rel  ( T  X.  E )  ->  Rel  { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } ) )
8178, 79, 80mp2 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }
82 relopab 4812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) }
83 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  i  e. 
_V
84 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  p  e. 
_V
85 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  i  ->  (
g  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( r `  G
) ) )
8685anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  i  ->  (
( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) ) )
87 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  p  ->  (
r `  G )  =  ( p `  G ) )
8887eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
i  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( p `  G
) ) )
89 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
r  e.  E  <->  p  e.  E ) )
9088, 89anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  p  ->  (
( i  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( p `  G
)  /\  p  e.  E ) ) )
9183, 84, 86, 90opelopab 4286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ <. g ,  r
>.  |  ( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E ) }  <->  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )
92 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  =  ( Atoms `  K )
93 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
94 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( invr `  F
)
95 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
961, 2, 29, 8, 24, 27, 92, 93, 13, 25, 14, 33, 48, 94, 5, 58, 36, 6, 7, 95dih1dimatlem0 31518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
97963expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
98 opelxp 4719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  <->  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )
9983, 84opth 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  ( i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
10099rexbii 2568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
10198, 100anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )
10297, 101syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
) )
103 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( u  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) )
104103rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
105104elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. }  <->  ( <. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) )
106102, 105syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. } ) )
10791, 106syl5rbb 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( <. i ,  p >.  e.  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  <->  <. i ,  p >.  e.  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } ) )
10881, 82, 107eqrelrdv 4783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
10977, 108eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
1101, 2, 47dvhlmod 31300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  U  e.  LMod )
1111, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 31278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  V )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  <. f ,  s >.  e.  V
)
11348, 49, 5, 58, 6lspsn 15759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. f ,  s >.  e.  V
)  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
114110, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  =/=  O )
11624, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 94tendoinvcl 31294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  e.  E  /\  ( J `  s )  =/=  O ) )
117116simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( J `  s )  e.  E
)
11847, 67, 115, 117syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( J `  s )  e.  E
)
1191, 13, 14tendocl 30956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J `  s )  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
12047, 118, 65, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
12127, 92, 1, 93lhpocnel2 30208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12247, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12327, 92, 1, 13ltrnel 30328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
12447, 120, 122, 123syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
125 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
12627, 92, 1, 125, 29dihvalcqat 31429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12747, 124, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12827, 92, 1, 93, 13, 14, 125, 95dicval2 31369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
12947, 124, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
130127, 129eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
131109, 114, 1303eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  ( I `  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) ) )
13224, 1, 29dihfn 31458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
133132adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  I  Fn  B )
134133adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  I  Fn  B )
135 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  HL )
136 hlop 29552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  OP )
138 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  W  e.  H )
13924, 1lhpbase 30187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
140138, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  W  e.  B )
141 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
14224, 141opoccl 29384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  B )
143137, 140, 142syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  B
)
14493, 143syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  P  e.  B )
14524, 1, 13ltrncl 30314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
14647, 120, 144, 145syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
147 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  B )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
148134, 146, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
149131, 148eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  e.  ran  I )
15046, 149pm2.61dane 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
151150ralrimivva 2635 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
152 sneq 3651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  { v }  =  { <. f ,  s >. } )
153152fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( N `  { v } )  =  ( N `  { <. f ,  s
>. } ) )
154153eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I ) )
155154ralxp 4827 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
156151, 155sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `  {
v } )  e. 
ran  I )
157156r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( T  X.  E ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
15818, 157syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
159 eleq1a 2352 . . . . 5  |-  ( ( N `  { v } )  e.  ran  I  ->  ( D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
160158, 159syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( D  =  ( N `  { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
161160rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
162161adantr 451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `
 { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
16311, 162mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   lecple 13215   occoc 13216   0gc0g 13400   invrcinvr 15453   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855  LSAtomsclsa 29164   OPcops 29362   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347   TEndoctendo 30941   DVecHcdvh 31268   DIsoBcdib 31328   DIsoCcdic 31362   DIsoHcdih 31418
This theorem is referenced by:  dih1dimat  31520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419
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