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Theorem dih1dimatlem 32065
Description: Lemma for dih1dimat 32066. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih1dimat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih1dimat.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih1dimat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dih1dimat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dih1dimat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dih1dimat.c  |-  C  =  ( Atoms `  K )
dih1dimat.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dih1dimat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dih1dimat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dih1dimat.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dih1dimat.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dih1dimat.d  |-  F  =  (Scalar `  U )
dih1dimat.j  |-  J  =  ( invr `  F
)
dih1dimat.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dih1dimat.m  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dih1dimat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dih1dimat.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dih1dimat.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dih1dimat.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Distinct variable groups:    .<_ , h    B, h    f, s, E    C, h    h, J    f, N, s    f, h, K, s    T, f, h, s    U, f, h, s    f, H, h, s    f, V, s    f, W, h, s    f, I, s    P, h
Allowed substitution hints:    A( f, h, s)    B( f, s)    C( f, s)    D( f, h, s)    P( f, s)    R( f, h, s)    S( f, h, s)    .x. ( f, h, s)    E( h)    F( f, h, s)    G( f, h, s)    I( h)    J( f,
s)    .<_ ( f, s)    N( h)    O( f, h, s)    V( h)    .0. ( f, h, s)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables  v 
g  i  p  r  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dih1dimat.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 id 20 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31845 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
5 dih1dimat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 dih1dimat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 dih1dimat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
8 dih1dimat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
95, 6, 7, 8islsat 29727 . . . 4  |-  ( U  e.  LVec  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) ) )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( D  e.  A  <->  E. v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) D  =  ( N `  { v } ) ) )
1110biimpa 471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } ) )
12 eldifi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  -> 
v  e.  V )
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 31823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  V  =  ( T  X.  E ) )
1615eleq2d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  V  <->  v  e.  ( T  X.  E ) ) )
1712, 16syl5ib 211 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( v  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) ) )
1817imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  v  e.  ( T  X.  E
) )
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  s  =  O )
2019opeq2d 3984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  <. f ,  s >.  =  <. f ,  O >. )
2120sneqd 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  { <. f ,  s >. }  =  { <. f ,  O >. } )
2221fveq2d 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  =  ( N `  { <. f ,  O >. } ) )
23 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  K
)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
2624, 1, 13, 25trlcl 30899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .<_  =  ( le `  K )
2827, 1, 13, 25trlle 30919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  .<_  W )
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
30 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 31973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( R `
 f )  e.  B  /\  ( R `
 f )  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
) )
3223, 26, 28, 31syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  ( R `  f
) ) )
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 31904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( R `  f )
)  =  ( N `
 { <. f ,  O >. } ) )
3532, 34eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  =  ( I `  ( R `
 f ) ) )
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 32003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : B -1-1-> S
)
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I : B -1-1-> S )
39 f1fn 5633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I : B -1-1-> S  ->  I  Fn  B )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  I  Fn  B )
41 fnfvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( R `  f )  e.  B )  -> 
( I `  ( R `  f )
)  e.  ran  I
)
4240, 26, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  f
) )  e.  ran  I )
4335, 42eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I )
4443adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  O >. } )  e.  ran  I
)
4544adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  O >. } )  e. 
ran  I )
4622, 45eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
47 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  (Scalar `  U )
49 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 31819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  F
)  =  E )
5147, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( Base `  F )  =  E )
5251rexeqdv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) ) )
53 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  t  e.  E )
55 opelxpi 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  -> 
<. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E
) )
5655ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) )
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  ( .s `  U )
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 31839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  <. f ,  s >.  e.  ( T  X.  E ) ) )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
5953, 54, 56, 58syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E ) )
60 eleq1a 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  .x.  <. f ,  s >. )  e.  ( T  X.  E
)  ->  ( u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6261rexlimdva 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  ->  u  e.  ( T  X.  E
) ) )
6362pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )
) ) )
64 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  f  e.  T )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  f  e.  T )
66 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  e.  E )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  s  e.  E )
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 31838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. )
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
t  .x.  <. f ,  s >. )  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
7069eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  /\  t  e.  E )  ->  (
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. )  <->  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
7170rexbidva 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
)  <->  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. ) )
7271anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  ( t  .x.  <.
f ,  s >.
) )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) ) )
7352, 63, 723bitrd 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( E. t  e.  ( Base `  F ) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. )  <->  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) ) )
7473abbidv 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  |  ( u  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) } )
75 df-rab 2707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { u  |  ( u  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) }
7674, 75syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } )
77 ssrab2 3421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  C_  ( T  X.  E )
78 relxp 4976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ( T  X.  E )
79 relss 4956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  C_  ( T  X.  E )  -> 
( Rel  ( T  X.  E )  ->  Rel  { u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. } ) )
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }
81 relopab 4994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) }
82 vex 2952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  i  e. 
_V
83 vex 2952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  p  e. 
_V
84 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  i  ->  (
g  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( r `  G
) ) )
8584anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  i  ->  (
( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) ) )
86 fveq1 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  p  ->  (
r `  G )  =  ( p `  G ) )
8786eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
i  =  ( r `
 G )  <->  i  =  ( p `  G
) ) )
88 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  p  ->  (
r  e.  E  <->  p  e.  E ) )
8987, 88anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  p  ->  (
( i  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E
)  <->  ( i  =  ( p `  G
)  /\  p  e.  E ) ) )
9082, 83, 85, 89opelopab 4469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ <. g ,  r
>.  |  ( g  =  ( r `  G )  /\  r  e.  E ) }  <->  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  =  ( Atoms `  K )
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( invr `  F
)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 32064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
96953expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
97 opelxp 4901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  <->  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )
9882, 83opth 4428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  ( i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
9998rexbii 2723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
10097, 99anbi12i 679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E
)  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )
10196, 100syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  (
<. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E
)  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
) )
102 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( u  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  <.
i ,  p >.  = 
<. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.
) )
103102rexbidv 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. i ,  p >.  ->  ( E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >.  <->  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. )
)
104103elrab 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. }  <->  ( <. i ,  p >.  e.  ( T  X.  E )  /\  E. t  e.  E  <. i ,  p >.  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s )
>. ) )
105101, 104syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
i  =  ( p `
 G )  /\  p  e.  E )  <->  <.
i ,  p >.  e. 
{ u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f ) ,  ( t  o.  s ) >. } ) )
10690, 105syl5rbb 250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( <. i ,  p >.  e.  {
u  e.  ( T  X.  E )  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `
 f ) ,  ( t  o.  s
) >. }  <->  <. i ,  p >.  e.  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } ) )
10780, 81, 106eqrelrdv 4965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  e.  ( T  X.  E
)  |  E. t  e.  E  u  =  <. ( t `  f
) ,  ( t  o.  s ) >. }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
10876, 107eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  { u  |  E. t  e.  (
Base `  F )
u  =  ( t 
.x.  <. f ,  s
>. ) }  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
1091, 2, 47dvhlmod 31846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  U  e.  LMod )
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 31824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  <. f ,  s >.  e.  V )
111110adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  <. f ,  s >.  e.  V
)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 16071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. f ,  s >.  e.  V
)  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
113109, 111, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  {
u  |  E. t  e.  ( Base `  F
) u  =  ( t  .x.  <. f ,  s >. ) } )
114 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  s  =/=  O )
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 31840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  e.  E  /\  ( J `  s )  =/=  O ) )
116115simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( J `  s )  e.  E
)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( J `  s )  e.  E
)
1181, 13, 14tendocl 31502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J `  s )  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 30754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12147, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
12227, 91, 1, 13ltrnel 30874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
12347, 119, 121, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
124 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 31975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12647, 123, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) ) )
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 31915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
12847, 123, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `
 G )  /\  r  e.  E ) } )
129126, 128eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  =  { <. g ,  r >.  |  ( g  =  ( r `  G
)  /\  r  e.  E ) } )
130108, 113, 1293eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  =  ( I `  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) ) )
13124, 1, 29dihfn 32004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
132131adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  I  Fn  B )
133132adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  I  Fn  B )
134 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  HL )
135 hlop 30098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  K  e.  OP )
13724, 1lhpbase 30733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
138137ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  W  e.  B )
139 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
14024, 139opoccl 29930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  B )
141136, 138, 140syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  B
)
14292, 141syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  P  e.  B )
14324, 1, 13ltrncl 30860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( (
( J `  s
) `  f ) `  P )  e.  B
)
145 fnfvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  Fn  B  /\  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  B )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
146133, 144, 145syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( I `  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
) )  e.  ran  I )
147130, 146eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  /\  s  =/=  O )  ->  ( N `  { <. f ,  s
>. } )  e.  ran  I )
14846, 147pm2.61dane 2677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
149148ralrimivva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
150 sneq 3818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  { v }  =  { <. f ,  s >. } )
151150fveq2d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( N `  { v } )  =  ( N `  { <. f ,  s
>. } ) )
152151eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. f ,  s
>.  ->  ( ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I ) )
153152ralxp 5009 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `
 { v } )  e.  ran  I  <->  A. f  e.  T  A. s  e.  E  ( N `  { <. f ,  s >. } )  e.  ran  I )
154149, 153sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. v  e.  ( T  X.  E ) ( N `  {
v } )  e. 
ran  I )
155154r19.21bi 2797 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( T  X.  E ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
15618, 155syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( N `  { v } )  e.  ran  I )
157 eleq1a 2505 . . . . 5  |-  ( ( N `  { v } )  e.  ran  I  ->  ( D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
158156, 157syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( D  =  ( N `  { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
159158rexlimdva 2823 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `  {
v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
160159adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {  .0.  } ) D  =  ( N `
 { v } )  ->  D  e.  ran  I ) )
16111, 160mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  A
)  ->  D  e.  ran  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   A.wral 2698   E.wrex 2699   {crab 2702    \ cdif 3310    C_ wss 3313   {csn 3807   <.cop 3810   class class class wbr 4205   {copab 4258    e. cmpt 4259    _I cid 4486    X. cxp 4869   ran crn 4872    |` cres 4873    o. ccom 4875   Rel wrel 4876    Fn wfn 5442   -1-1->wf1 5444   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   iota_crio 6535   Basecbs 13462  Scalarcsca 13525   .scvsca 13526   lecple 13529   occoc 13530   0gc0g 13716   invrcinvr 15769   LModclmod 15943   LSubSpclss 16001   LSpanclspn 16040   LVecclvec 16167  LSAtomsclsa 29710   OPcops 29908   Atomscatm 29999   HLchlt 30086   LHypclh 30719   LTrncltrn 30836   trLctrl 30893   TEndoctendo 31487   DVecHcdvh 31814   DIsoBcdib 31874   DIsoCcdic 31908   DIsoHcdih 31964
This theorem is referenced by:  dih1dimat  32066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-undef 6536  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-0g 13720  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-lsm 15263  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-oppr 15721  df-dvdsr 15739  df-unit 15740  df-invr 15770  df-dvr 15781  df-drng 15830  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-lvec 16168  df-lsatoms 29712  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-llines 30233  df-lplanes 30234  df-lvols 30235  df-lines 30236  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723  df-laut 30724  df-ldil 30839  df-ltrn 30840  df-trl 30894  df-tendo 31490  df-edring 31492  df-disoa 31765  df-dvech 31815  df-dib 31875  df-dic 31909  df-dih 31965
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