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Theorem dih1dimatlem0 31443
Description: Lemma for dih1dimat 31445. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dih1dimat.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dih1dimat.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dih1dimat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
dih1dimat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dih1dimat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dih1dimat.c  |-  C  =  ( Atoms `  K )
dih1dimat.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dih1dimat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dih1dimat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dih1dimat.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dih1dimat.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dih1dimat.d  |-  F  =  (Scalar `  U )
dih1dimat.j  |-  J  =  ( invr `  F
)
dih1dimat.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dih1dimat.m  |-  .x.  =  ( .s `  U )
dih1dimat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
dih1dimat.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dih1dimat.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dih1dimat.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem0  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    B, h    f, i, p, s, t, E    t, F    C, h    i, G, p, t    t, h, J   
f, N, s, t   
f, h, K, i, p, s, t    T, f, h, i, p, s, t    U, f, h, s, t    f, H, h, i, p, s, t   
f, V, i, p, s, t    f, W, h, i, p, s, t    f, I, s   
i, O, p, t    P, h    t,  .x.
Allowed substitution hints:    A( t, f, h, i, s, p)    B( t, f, i, s, p)    C( t, f, i, s, p)    P( t,
f, i, s, p)    R( t, f, h, i, s, p)    S( t,
f, h, i, s, p)    .x. ( f, h, i, s, p)    U( i, p)    E( h)    F( f, h, i, s, p)    G( f, h, s)    I( t, h, i, p)    J( f, i, s, p)    .<_ ( t, f, i, s, p)    N( h, i, p)    O( f, h, s)    V( h)    .0. ( t, f, h, i, s, p)

Proof of Theorem dih1dimatlem0
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
i  =  ( p `
 G ) )
2 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  p  e.  E )
4 dih1dimat.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 dih1dimat.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( Atoms `  K )
6 dih1dimat.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 dih1dimat.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
84, 5, 6, 7lhpocnel2 30133 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
92, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
10 simpl2r 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
11 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
s  =/=  O )
12 dih1dimat.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
15 dih1dimat.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
16 dih1dimat.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
17 dih1dimat.d . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  (Scalar `  U )
18 dih1dimat.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( invr `  F
)
1912, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendoinvcl 31219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  e.  E  /\  ( J `  s )  =/=  O ) )
2019simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( J `  s )  e.  E
)
212, 10, 11, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( J `  s
)  e.  E )
22 simpl2l 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
236, 13, 14tendocl 30881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J `  s )  e.  E  /\  f  e.  T
)  ->  ( ( J `  s ) `  f )  e.  T
)
242, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( J `  s ) `  f
)  e.  T )
254, 5, 6, 13ltrnel 30253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J `
 s ) `  f )  e.  T  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  e.  C  /\  -.  (
( ( J `  s ) `  f
) `  P )  .<_  W ) )
262, 24, 9, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P )  .<_  W ) )
27 dih1dimat.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  ( ( ( J `  s
) `  f ) `  P ) )
284, 5, 6, 13, 27ltrniotacl 30693 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  .<_  W ) )  ->  G  e.  T
)
292, 9, 26, 28syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  G  e.  T )
306, 13, 14tendocl 30881 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( p `  G )  e.  T
)
312, 3, 29, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p `  G
)  e.  T )
321, 31eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
i  e.  T )
336, 14tendococl 30886 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  E  /\  ( J `  s
)  e.  E )  ->  ( p  o.  ( J `  s
) )  e.  E
)
342, 3, 21, 33syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  ( J `  s )
)  e.  E )
35 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3683ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W ) )
37203adant2l 1178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( J `  s )  e.  E )
38 simp2l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  f  e.  T )
3935, 37, 38, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( J `  s
) `  f )  e.  T )
4035, 39, 36, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  .<_  W ) )
4135, 36, 40, 28syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  G  e.  T )
424, 5, 6, 13, 27ltrniotaval 30695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  e.  C  /\  -.  ( ( ( J `
 s ) `  f ) `  P
)  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  =  ( ( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)
4335, 36, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  ( G `  P )  =  ( ( ( J `  s ) `
 f ) `  P ) )
444, 5, 6, 13cdlemd 30321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  (
( J `  s
) `  f )  e.  T )  /\  ( P  e.  C  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =  ( ( ( J `  s ) `  f
) `  P )
)  ->  G  =  ( ( J `  s ) `  f
) )
4535, 41, 39, 36, 43, 44syl311anc 1198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  G  =  ( ( J `
 s ) `  f ) )
4645adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  G  =  ( ( J `  s ) `  f ) )
4746fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p `  G
)  =  ( p `
 ( ( J `
 s ) `  f ) ) )
486, 13, 14tendocoval 30880 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  E  /\  ( J `
 s )  e.  E )  /\  f  e.  T )  ->  (
( p  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( p `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
492, 3, 21, 22, 48syl121anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( p  o.  ( J `  s
) ) `  f
)  =  ( p `
 ( ( J `
 s ) `  f ) ) )
5047, 1, 493eqtr4d 2429 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
i  =  ( ( p  o.  ( J `
 s ) ) `
 f ) )
51 coass 5328 . . . . 5  |-  ( ( p  o.  ( J `
 s ) )  o.  s )  =  ( p  o.  (
( J `  s
)  o.  s ) )
5212, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendolinv 31220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( ( J `  s )  o.  s )  =  (  _I  |`  T )
)
532, 10, 11, 52syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( J `  s )  o.  s
)  =  (  _I  |`  T ) )
5453coeq2d 4975 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  (
( J `  s
)  o.  s ) )  =  ( p  o.  (  _I  |`  T ) ) )
556, 13, 14tendo1mulr 30885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  E
)  ->  ( p  o.  (  _I  |`  T ) )  =  p )
562, 3, 55syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  (  _I  |`  T ) )  =  p )
5754, 56eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( p  o.  (
( J `  s
)  o.  s ) )  =  p )
5851, 57syl5req 2432 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  p  =  ( (
p  o.  ( J `
 s ) )  o.  s ) )
59 fveq1 5667 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
t `  f )  =  ( ( p  o.  ( J `  s ) ) `  f ) )
6059eqeq2d 2398 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
i  =  ( t `
 f )  <->  i  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) ) `  f
) ) )
61 coeq1 4970 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
t  o.  s )  =  ( ( p  o.  ( J `  s ) )  o.  s ) )
6261eqeq2d 2398 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
p  =  ( t  o.  s )  <->  p  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) )  o.  s
) ) )
6360, 62anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( t  =  ( p  o.  ( J `  s
) )  ->  (
( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) )  <->  ( i  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) ) `  f
)  /\  p  =  ( ( p  o.  ( J `  s
) )  o.  s
) ) ) )
6463rspcev 2995 . . . 4  |-  ( ( ( p  o.  ( J `  s )
)  e.  E  /\  ( i  =  ( ( p  o.  ( J `  s )
) `  f )  /\  p  =  (
( p  o.  ( J `  s )
)  o.  s ) ) )  ->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
6534, 50, 58, 64syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  ->  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )
6632, 3, 65jca31 521 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E ) )  -> 
( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )
67 simp3r 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  p  =  ( t  o.  s ) )
6867fveq1d 5670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
p `  ( ( J `  s ) `  f ) )  =  ( ( t  o.  s ) `  (
( J `  s
) `  f )
) )
69 simp1l1 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
70 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  t  e.  E )
71 simpl2r 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
72713ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  s  e.  E )
736, 14tendococl 30886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  s  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
7469, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  s )  e.  E )
75 simp1l3 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  s  =/=  O )
7669, 72, 75, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  ( J `  s )  e.  E )
77 simpl2l 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
78773ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  f  e.  T )
796, 13, 14tendocoval 30880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( t  o.  s )  e.  E  /\  ( J `
 s )  e.  E )  /\  f  e.  T )  ->  (
( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( ( t  o.  s ) `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
8069, 74, 76, 78, 79syl121anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( ( t  o.  s ) `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
81 coass 5328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s ) )  =  ( t  o.  (
s  o.  ( J `
 s ) ) )
8212, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18tendorinv 31221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  s  =/=  O
)  ->  ( s  o.  ( J `  s
) )  =  (  _I  |`  T )
)
8369, 72, 75, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
s  o.  ( J `
 s ) )  =  (  _I  |`  T ) )
8483coeq2d 4975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  ( s  o.  ( J `  s ) ) )  =  ( t  o.  (  _I  |`  T ) ) )
856, 13, 14tendo1mulr 30885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E
)  ->  ( t  o.  (  _I  |`  T ) )  =  t )
8669, 70, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  (  _I  |`  T ) )  =  t )
8784, 86eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t  o.  ( s  o.  ( J `  s ) ) )  =  t )
8881, 87syl5eq 2431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
( t  o.  s
)  o.  ( J `
 s ) )  =  t )
8988fveq1d 5670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
( ( t  o.  s )  o.  ( J `  s )
) `  f )  =  ( t `  f ) )
9068, 80, 893eqtr2rd 2426 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
t `  f )  =  ( p `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
91 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  i  =  ( t `  f ) )
9245adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  ->  G  =  ( ( J `  s ) `  f ) )
93923ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  G  =  ( ( J `
 s ) `  f ) )
9493fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  (
p `  G )  =  ( p `  ( ( J `  s ) `  f
) ) )
9590, 91, 943eqtr4d 2429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  /\  t  e.  E  /\  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) )  ->  i  =  ( p `  G ) )
9695rexlimdv3a 2775 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( i  e.  T  /\  p  e.  E ) )  -> 
( E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f
)  /\  p  =  ( t  o.  s
) )  ->  i  =  ( p `  G ) ) )
9796impr 603 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( (
i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )  -> 
i  =  ( p `
 G ) )
98 simprlr 740 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( (
i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )  ->  p  e.  E )
9997, 98jca 519 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O
)  /\  ( (
i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  ( i  =  ( t `  f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) )  -> 
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
) )
10066, 99impbida 806 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  s  =/=  O )  ->  (
( i  =  ( p `  G )  /\  p  e.  E
)  <->  ( ( i  e.  T  /\  p  e.  E )  /\  E. t  e.  E  (
i  =  ( t `
 f )  /\  p  =  ( t  o.  s ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   E.wrex 2650   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    _I cid 4434    |` cres 4820    o. ccom 4822   ` cfv 5394   iota_crio 6478   Basecbs 13396  Scalarcsca 13459   .scvsca 13460   lecple 13463   occoc 13464   0gc0g 13650   invrcinvr 15703   LSubSpclss 15935   LSpanclspn 15974  LSAtomsclsa 29089   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   trLctrl 30272   TEndoctendo 30866   DVecHcdvh 31193   DIsoHcdih 31343
This theorem is referenced by:  dih1dimatlem  31444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-dvech 31194
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