Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Unicode version

Theorem dihglb2 31532
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglb2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglb2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
dihglb2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, K    x, S, y    y, B    y, H    y, I    y, K   
y, S    y, V    y, W
Allowed substitution hints:    U( x, y)    G( x, y)    H( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
32a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
)
4 hlop 29552 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
54ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  K  e.  OP )
6 dihglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
86, 7op1cl 29375 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  B )
95, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  B
)
10 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  V
)
11 dihglb.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 dihglb.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 dihglb2.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
14 dihglb2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
157, 11, 12, 13, 14dih1 31476 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  ( 1. `  K ) )  =  V )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( 1. `  K
) )  =  V )
1710, 16sseqtr4d 3215 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) )
18 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  (
I `  x )  =  ( I `  ( 1. `  K ) ) )
1918sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) ) )
2019elrab 2923 . . . . 5  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( ( 1. `  K )  e.  B  /\  S  C_  ( I `  ( 1. `  K ) ) ) )
219, 17, 20sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } )
22 ne0i 3461 . . . 4  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
2321, 22syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
24 dihglb.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
256, 24, 11, 12dihglb 31531 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } ) )  =  |^|_ z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) }  (
I `  z )
)
261, 3, 23, 25syl12anc 1180 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
) )
27 fvex 5539 . . . 4  |-  ( I `
 z )  e. 
_V
2827dfiin2 3938 . . 3  |-  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }
296, 11, 12dihfn 31458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  I  Fn  B )
31 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  Fn  B  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
33 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  z )  =  y  <->  y  =  ( I `  z
) )
3433rexbii 2568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z  e.  B  y  =  ( I `  z
) )
35 df-rex 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( I `  z )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3634, 35bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3732, 36syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) ) ) )
3837ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( S  C_  y  ->  ( y  e.  ran  I  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) ) ) )
3938pm5.32rd 621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( (
y  e.  ran  I  /\  S  C_  y )  <-> 
( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) ) )
40 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  E. z ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
41 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
I `  x )  =  ( I `  z ) )
4241sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4342elrab 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) ) )
4443anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z ) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
45 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  ( S  C_  y  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4645anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  (
( z  e.  B  /\  S  C_  y )  <-> 
( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `
 z ) ) ) )
4746pm5.32ri 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
48 an32 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
4944, 47, 483bitr2i 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
5049exbii 1569 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
51 19.41v 1842 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) )  /\  S  C_  y ) )
5240, 50, 513bitrri 263 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) )
5339, 52syl6rbb 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  ( y  e. 
ran  I  /\  S  C_  y ) ) )
5453abbidv 2397 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) } )
55 df-rab 2552 . . . . 5  |-  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) }
5654, 55syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y } )
5756inteqd 3867 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5828, 57syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^|_ z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5926, 58eqtrd 2315 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   |^|cint 3862   |^|_ciin 3906   ran crn 4690    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   Basecbs 13148   glbcglb 14077   1.cp1 14144   OPcops 29362   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418
This theorem is referenced by:  dochval2  31542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419
  Copyright terms: Public domain W3C validator