Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Structured version   Unicode version

Theorem dihglb2 32077
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglb2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglb2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
dihglb2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, K    x, S, y    y, B    y, H    y, I    y, K   
y, S    y, V    y, W
Allowed substitution hints:    U( x, y)    G( x, y)    H( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 ssrab2 3420 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
)
4 hlop 30097 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
54ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  K  e.  OP )
6 dihglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
86, 7op1cl 29920 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  B )
95, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  B
)
10 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  V
)
11 dihglb.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 dihglb.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 dihglb2.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
14 dihglb2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
157, 11, 12, 13, 14dih1 32021 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  ( 1. `  K ) )  =  V )
1615adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( 1. `  K
) )  =  V )
1710, 16sseqtr4d 3377 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) )
18 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  (
I `  x )  =  ( I `  ( 1. `  K ) ) )
1918sseq2d 3368 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) ) )
2019elrab 3084 . . . . 5  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( ( 1. `  K )  e.  B  /\  S  C_  ( I `  ( 1. `  K ) ) ) )
219, 17, 20sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } )
22 ne0i 3626 . . . 4  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
24 dihglb.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
256, 24, 11, 12dihglb 32076 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } ) )  =  |^|_ z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) }  (
I `  z )
)
261, 3, 23, 25syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
) )
27 fvex 5734 . . . 4  |-  ( I `
 z )  e. 
_V
2827dfiin2 4118 . . 3  |-  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }
296, 11, 12dihfn 32003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  I  Fn  B )
31 fvelrnb 5766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  Fn  B  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
33 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  z )  =  y  <->  y  =  ( I `  z
) )
3433rexbii 2722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z  e.  B  y  =  ( I `  z
) )
35 df-rex 2703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( I `  z )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3634, 35bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3732, 36syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) ) ) )
3837ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( S  C_  y  ->  ( y  e.  ran  I  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) ) ) )
3938pm5.32rd 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( (
y  e.  ran  I  /\  S  C_  y )  <-> 
( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) ) )
40 df-rex 2703 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  E. z ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
41 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
I `  x )  =  ( I `  z ) )
4241sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4342elrab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) ) )
4443anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z ) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
45 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  ( S  C_  y  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4645anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  (
( z  e.  B  /\  S  C_  y )  <-> 
( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `
 z ) ) ) )
4746pm5.32ri 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
48 an32 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
4944, 47, 483bitr2i 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
5049exbii 1592 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
51 19.41v 1924 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) )  /\  S  C_  y ) )
5240, 50, 513bitrri 264 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) )
5339, 52syl6rbb 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  ( y  e. 
ran  I  /\  S  C_  y ) ) )
5453abbidv 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) } )
55 df-rab 2706 . . . . 5  |-  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) }
5654, 55syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y } )
5756inteqd 4047 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5828, 57syl5eq 2479 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^|_ z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5926, 58eqtrd 2467 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   |^|cint 4042   |^|_ciin 4086   ran crn 4871    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   Basecbs 13461   glbcglb 14392   1.cp1 14459   OPcops 29907   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DVecHcdvh 31813   DIsoHcdih 31963
This theorem is referenced by:  dochval2  32087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29711  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874  df-dic 31908  df-dih 31964
  Copyright terms: Public domain W3C validator