Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Unicode version

Theorem dihglb2 31508
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglb2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglb2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
dihglb2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, K    x, S, y    y, B    y, H    y, I    y, K   
y, S    y, V    y, W
Allowed substitution hints:    U( x, y)    G( x, y)    H( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 ssrab2 3364 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B
)
4 hlop 29528 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
54ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  K  e.  OP )
6 dihglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
86, 7op1cl 29351 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  B )
95, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  B
)
10 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  V
)
11 dihglb.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 dihglb.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 dihglb2.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
14 dihglb2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  U
)
157, 11, 12, 13, 14dih1 31452 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  ( 1. `  K ) )  =  V )
1615adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( 1. `  K
) )  =  V )
1710, 16sseqtr4d 3321 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) )
18 fveq2 5661 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  (
I `  x )  =  ( I `  ( 1. `  K ) ) )
1918sseq2d 3312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1. `  K )  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  ( 1. `  K ) ) ) )
2019elrab 3028 . . . . 5  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( ( 1. `  K )  e.  B  /\  S  C_  ( I `  ( 1. `  K ) ) ) )
219, 17, 20sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( 1. `  K )  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } )
22 ne0i 3570 . . . 4  |-  ( ( 1. `  K )  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
24 dihglb.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
256, 24, 11, 12dihglb 31507 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  C_  B  /\  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } ) )  =  |^|_ z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) }  (
I `  z )
)
261, 3, 23, 25syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
) )
27 fvex 5675 . . . 4  |-  ( I `
 z )  e. 
_V
2827dfiin2 4061 . . 3  |-  |^|_ z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }
296, 11, 12dihfn 31434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I  Fn  B )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  I  Fn  B )
31 fvelrnb 5706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  Fn  B  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y ) )
33 eqcom 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  z )  =  y  <->  y  =  ( I `  z
) )
3433rexbii 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z  e.  B  y  =  ( I `  z
) )
35 df-rex 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  y  =  ( I `  z )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3634, 35bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  ( I `  z )  =  y  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) )
3732, 36syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V )  /\  S  C_  y )  ->  (
y  e.  ran  I  <->  E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) ) ) )
3837ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( S  C_  y  ->  ( y  e.  ran  I  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  =  (
I `  z )
) ) ) )
3938pm5.32rd 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( (
y  e.  ran  I  /\  S  C_  y )  <-> 
( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) ) )
40 df-rex 2648 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  E. z ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
41 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
I `  x )  =  ( I `  z ) )
4241sseq2d 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( S  C_  ( I `  x )  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4342elrab 3028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  <->  ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) ) )
4443anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z ) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
45 sseq2 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  ( S  C_  y  <->  S  C_  (
I `  z )
) )
4645anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( I `  z )  ->  (
( z  e.  B  /\  S  C_  y )  <-> 
( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `
 z ) ) ) )
4746pm5.32ri 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  S  C_  ( I `  z
) )  /\  y  =  ( I `  z ) ) )
48 an32 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  S  C_  y )  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
4944, 47, 483bitr2i 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  ( (
z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
5049exbii 1589 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  /\  y  =  ( I `  z ) )  <->  E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y ) )
51 19.41v 1913 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z
) )  /\  S  C_  y ) )
5240, 50, 513bitrri 264 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z ( z  e.  B  /\  y  =  ( I `  z ) )  /\  S  C_  y )  <->  E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) )
5339, 52syl6rbb 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( E. z  e.  { x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x
) } y  =  ( I `  z
)  <->  ( y  e. 
ran  I  /\  S  C_  y ) ) )
5453abbidv 2494 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) } )
55 df-rab 2651 . . . . 5  |-  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }  =  { y  |  ( y  e.  ran  I  /\  S  C_  y ) }
5654, 55syl6eqr 2430 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  { y  |  E. z  e.  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } y  =  ( I `  z ) }  =  { y  e.  ran  I  |  S  C_  y } )
5756inteqd 3990 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^| { y  |  E. z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) } y  =  ( I `
 z ) }  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5828, 57syl5eq 2424 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  |^|_ z  e. 
{ x  e.  B  |  S  C_  ( I `
 x ) }  ( I `  z
)  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
5926, 58eqtrd 2412 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  V
)  ->  ( I `  ( G `  {
x  e.  B  |  S  C_  ( I `  x ) } ) )  =  |^| { y  e.  ran  I  |  S  C_  y }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366    =/= wne 2543   E.wrex 2643   {crab 2646    C_ wss 3256   (/)c0 3564   |^|cint 3985   |^|_ciin 4029   ran crn 4812    Fn wfn 5382   ` cfv 5387   Basecbs 13389   glbcglb 14320   1.cp1 14387   OPcops 29338   HLchlt 29516   LHypclh 30149   DVecHcdvh 31244   DIsoHcdih 31394
This theorem is referenced by:  dochval2  31518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-undef 6472  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095  df-lsatoms 29142  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-tendo 30920  df-edring 30922  df-disoa 31195  df-dvech 31245  df-dib 31305  df-dic 31339  df-dih 31395
  Copyright terms: Public domain W3C validator