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Theorem dihglbcpreN 32098
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane  W. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglbc.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglbc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglbc.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglbc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglbcpre.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihglbcpre.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglbcpre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihglbcpre.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihglbcpre.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihglbcpre.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihglbcpre.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihglbcpre.f  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T
( g `  P
)  =  q )
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Distinct variable groups:    x, q,  ./\    g, q, x,  .<_    x,  .\/    A, g, q, x    B, q, x    x, E    x, F    G, q, x    g, H, q, x    I, q   
g, K, q, x    P, g    x, R    S, q, x    T, g, x   
g, W, q, x
Allowed substitution hints:    B( g)    P( x, q)    R( g, q)    S( g)    T( q)    E( g, q)    F( g, q)    G( g)    I( x, g)    .\/ ( g, q)    ./\ ( g)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dihglbc.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
31, 2dihvalrel 32077 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
433ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
5 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  =/=  (/) )
6 n0 3637 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
75, 6sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  x  e.  S )
8 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
9 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 2dihvalrel 32077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  Rel  ( I `  x
) )
128, 11jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1312ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
1413eximdv 1632 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
157, 14mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
16 df-rex 2711 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
1715, 16sylibr 204 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
18 reliin 4996 . . 3  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
20 id 20 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W ) )
21 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simp1l 981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
23 hlclat 30156 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
25 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
26 dihglbc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
27 dihglbc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
2826, 27clatglbcl 14541 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
2924, 25, 28syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  e.  B )
30 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  -.  ( G `  S
)  .<_  W )
31 dihglbc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
32 dihglbcpre.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
33 dihglbcpre.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
34 dihglbcpre.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 30821 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
3621, 29, 30, 35syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
37 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3829adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( G `  S )  e.  B )
39 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
40 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ g  e.  T
( g `  P
)  =  q )
46 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
47 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 32047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  B  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) ) ) )
50 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
51 r19.28zv 3723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
( f  e.  T  /\  s  e.  E
)  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
53 simp11 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simp12l 1070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
55 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5654, 55sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
57 simp13 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )
58 simp11l 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5958, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
6026, 31, 27clatglble 14552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
6159, 54, 55, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  x )
62 hllat 30161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
6358, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
64293ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
65 simp11r 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
6626, 1lhpbase 30795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
6826, 31lattr 14485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  S )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
6963, 64, 56, 67, 68syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( G `  S )  .<_  x  /\  x  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  .<_  W ) )
7061, 69mpand 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  .<_  W  ->  ( G `  S )  .<_  W ) )
7157, 70mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  -.  x  .<_  W )
72 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
73 simp2ll 1024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  A )
7426, 34atbase 30087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  B )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  e.  B )
7626, 33latmcl 14480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  S )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7763, 64, 67, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
( G `  S
)  ./\  W )  e.  B )
7826, 31, 32latlej1 14489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  q  e.  B  /\  ( ( G `  S )  ./\  W
)  e.  B )  ->  q  .<_  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) ) )
7963, 75, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( q  .\/  (
( G `  S
)  ./\  W )
) )
80 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S
) )
8179, 80breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  ( G `  S
) )
8226, 31, 63, 75, 64, 56, 81, 61lattrd 14487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  q  .<_  x )
8326, 31, 32, 33, 34atmod3i1 30661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( q  e.  A  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  q  .<_  x )  ->  ( q  .\/  ( x  ./\  W
) )  =  ( x  ./\  ( q  .\/  W ) ) )
8458, 73, 56, 67, 82, 83syl131anc 1197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  ( x  ./\  (
q  .\/  W )
) )
85 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8631, 32, 85, 34, 1lhpjat2 30818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( q  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
8753, 72, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
8887oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( q  .\/  W ) )  =  ( x  ./\  ( 1. `  K ) ) )
89 hlol 30159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
9058, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  OL )
9126, 33, 85olm11 30025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OL  /\  x  e.  B )  ->  ( x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9290, 56, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  ( 1. `  K ) )  =  x )
9384, 88, 923eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  (
q  .\/  ( x  ./\ 
W ) )  =  x )
9426, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 32047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  x  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( x  ./\  W ) )  =  x ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9553, 56, 71, 72, 93, 94syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
96953expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
9796ralbidva 2721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  x ) ) )
98 simp11l 1068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  HL )
9998, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  K  e.  CLat )
100 simp11 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
f  e.  T )
102 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
10331, 34, 1, 41lhpocnel2 30816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
105 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
10631, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 31376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
107100, 104, 105, 106syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  F  e.  T )
1081, 42, 44tendocl 31564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( s `  F )  e.  T
)
109100, 102, 107, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( s `  F
)  e.  T )
1101, 42ltrncnv 30943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s `  F )  e.  T
)  ->  `' (
s `  F )  e.  T )
111100, 109, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  `' ( s `  F )  e.  T
)
1121, 42ltrnco 31516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T  /\  `' ( s `  F )  e.  T
)  ->  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )
113100, 101, 111, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( f  o.  `' ( s `  F
) )  e.  T
)
11426, 1, 42, 43trlcl 30961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  o.  `' ( s `  F ) )  e.  T )  ->  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B )
115100, 113, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B
)
116 simp12l 1070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  ->  S  C_  B )
11726, 31, 27clatleglb 14553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) )  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
( R `  (
f  o.  `' ( s `  F ) ) )  .<_  ( G `
 S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  x ) )
11899, 115, 116, 117syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) )  /\  ( f  e.  T  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F
) ) )  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
1191183expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  /\  (
f  e.  T  /\  s  e.  E )
)  ->  ( ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
)  <->  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
)
120119pm5.32da 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  ( (
f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  A. x  e.  S  ( R `  ( f  o.  `' ( s `
 F ) ) )  .<_  x )
) )
12152, 97, 1203bitr4rd 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
122 opex 4427 . . . . . . . . . 10  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
123 eliin 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
124122, 123ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
125121, 124syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q  .\/  ( ( G `  S )  ./\  W
) )  =  ( G `  S ) ) )  ->  (
( ( f  e.  T  /\  s  e.  E )  /\  ( R `  ( f  o.  `' ( s `  F ) ) ) 
.<_  ( G `  S
) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) ) )
12649, 125bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S ) 
.<_  W )  /\  (
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)  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
127126exp44 597 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
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.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) ) )
128127imp4a 573 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
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.\/  ( ( G `
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 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) ) )
129128rexlimdv 2829 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
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( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q 
.\/  ( ( G `
 S )  ./\  W ) )  =  ( G `  S ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `
 S ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) ) )
13036, 129mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
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( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
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) ) )
131130eqrelrdv2 4975 . 2  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
1324, 19, 20, 131syl21anc 1183 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  ( G `  S
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( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   <.cop 3817   |^|_ciin 4094   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877    o. ccom 4882   Rel wrel 4883   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   Basecbs 13469   lecple 13536   occoc 13537   glbcglb 14400   joincjn 14401   meetcmee 14402   1.cp1 14467   Latclat 14474   CLatccla 14536   OLcol 29972   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955   TEndoctendo 31549   DIsoHcdih 32026
This theorem is referenced by:  dihglbcN  32099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027
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