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Theorem dihglblem2N 31543
Description: The GLB of a set of lattice elements  S is the same as that of the set  T with elements of  S cut down to be under  W. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglblem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglblem.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem.t  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Distinct variable groups:    v, u,  ./\    u, B    u, S, v   
u, W, v
Allowed substitution hints:    B( v)    T( v, u)    G( v, u)    H( v, u)    K( v, u)   
.<_ ( v, u)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihglblem.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dihglblem.g . 2  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 simpl1l 1007 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5 hllat 29612 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
7 simp1l 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
8 hlclat 29607 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
10 dihglblem.t . . . . . 6  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
11 ssrab2 3344 . . . . . 6  |-  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  C_  B
1210, 11eqsstri 3294 . . . . 5  |-  T  C_  B
131, 3clatglbcl 14428 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B )  ->  ( G `  T )  e.  B )
149, 12, 13sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  T
)  e.  B )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  e.  B )
16 simpl2 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1816, 17sseldd 3267 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
19 simpl1r 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
20 dihglblem.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
211, 20lhpbase 30246 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
23 dihglblem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
241, 23latmcl 14367 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  e.  B )
256, 18, 22, 24syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  B )
264, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
27 eqidd 2367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
28 oveq1 5988 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
2928eqeq2d 2377 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  W
)  =  ( v 
./\  W )  <->  ( x  ./\ 
W )  =  ( x  ./\  W )
) )
3029rspcev 2969 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  ( x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
3117, 27, 30syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
32 eqeq1 2372 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( u  =  ( v  ./\  W )  <->  ( x  ./\  W )  =  ( v 
./\  W ) ) )
3332rexbidv 2649 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  ( x  ./\  W )  =  ( v  ./\  W ) ) )
3433elrab 3009 . . . . . 6  |-  ( ( x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  <->  ( (
x  ./\  W )  e.  B  /\  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
) )
3525, 31, 34sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) } )
3635, 10syl6eleqr 2457 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  T )
371, 2, 3clatglble 14439 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  ( x 
./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3812, 37mp3an2 1266 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
x  ./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3926, 36, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
401, 2, 23latmle1 14392 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  .<_  x )
416, 18, 22, 40syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  .<_  x )
421, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41lattrd 14374 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  x )
43 eqeq1 2372 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
4443rexbidv 2649 . . . . . . 7  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
45 oveq1 5988 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  (
v  ./\  W )  =  ( y  ./\  W ) )
4645eqeq2d 2377 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  (
w  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4746cbvrexv 2850 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )
4844, 47syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4948, 10elrab2 3011 . . . . 5  |-  ( w  e.  T  <->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
50 simp3 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
51 simp13 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  A. x  e.  S  z  .<_  x )
52 breq2 4129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  y ) )
5352rspcva 2967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  A. x  e.  S  z 
.<_  x )  ->  z  .<_  y )
5450, 51, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  y )
55 simp11l 1067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  HL )
56553ad2ant1 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5756, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
58 simp12 987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  e.  B )
5956, 8syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
60 simp112 1086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
611, 3clatglbcl 14428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
6259, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
63 simp11r 1068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  W  e.  H )
64633ad2ant1 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  H )
6564, 21syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  B )
661, 2, 3clatleglb 14440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6759, 58, 60, 66syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6851, 67mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( G `  S
) )
69 simp113 1087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  W )
701, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69lattrd 14374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  W )
7160, 50sseldd 3267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
721, 2, 23latlem12 14394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  B  /\  y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7357, 58, 71, 65, 72syl13anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7454, 70, 73mpbi2and 887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( y  ./\  W
) )
75743expia 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
z  .<_  ( y  ./\  W ) ) )
76 breq2 4129 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  ( z  .<_  w  <->  z  .<_  ( y 
./\  W ) ) )
7776biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( z 
.<_  ( y  ./\  W
)  ->  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
7875, 77syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w )
) )
7978rexlimdv 2751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  ( E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
8079expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( (
w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )  ->  z  .<_  w ) )
8149, 80syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( w  e.  T  ->  z  .<_  w ) )
8281ralrimiv 2710 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  A. w  e.  T  z  .<_  w )
8355, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  CLat )
84 simp2 957 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  e.  B )
851, 2, 3clatleglb 14440 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  T  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8612, 85mp3an3 1267 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8783, 84, 86syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( z  .<_  ( G `  T
)  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8882, 87mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  .<_  ( G `  T ) )
89 simp2 957 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
901, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14isglbd 14431 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   {crab 2632    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   lecple 13423   glbcglb 14287   meetcmee 14289   Latclat 14361   CLatccla 14423   HLchlt 29599   LHypclh 30232
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  31544  dihglblem3aN  31545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-poset 14290  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-lat 14362  df-clat 14424  df-atl 29547  df-cvlat 29571  df-hlat 29600  df-lhyp 30236
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