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Theorem dihglblem2N 31484
Description: The GLB of a set of lattice elements  S is the same as that of the set  T with elements of  S cut down to be under  W. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglblem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglblem.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem.t  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Distinct variable groups:    v, u,  ./\    u, B    u, S, v   
u, W, v
Allowed substitution hints:    B( v)    T( v, u)    G( v, u)    H( v, u)    K( v, u)   
.<_ ( v, u)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihglblem.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dihglblem.g . 2  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 simpl1l 1006 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5 hllat 29553 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
7 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
8 hlclat 29548 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
10 dihglblem.t . . . . . 6  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
11 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  C_  B
1210, 11eqsstri 3208 . . . . 5  |-  T  C_  B
131, 3clatglbcl 14218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B )  ->  ( G `  T )  e.  B )
149, 12, 13sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  T
)  e.  B )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  e.  B )
16 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1816, 17sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
19 simpl1r 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
20 dihglblem.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
211, 20lhpbase 30187 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
23 dihglblem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
241, 23latmcl 14157 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  e.  B )
256, 18, 22, 24syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  B )
264, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
27 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
28 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
2928eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  W
)  =  ( v 
./\  W )  <->  ( x  ./\ 
W )  =  ( x  ./\  W )
) )
3029rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  ( x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
3117, 27, 30syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
32 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( u  =  ( v  ./\  W )  <->  ( x  ./\  W )  =  ( v 
./\  W ) ) )
3332rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  ( x  ./\  W )  =  ( v  ./\  W ) ) )
3433elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( ( x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  <->  ( (
x  ./\  W )  e.  B  /\  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
) )
3525, 31, 34sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) } )
3635, 10syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  T )
371, 2, 3clatglble 14229 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  ( x 
./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3812, 37mp3an2 1265 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
x  ./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3926, 36, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
401, 2, 23latmle1 14182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  .<_  x )
416, 18, 22, 40syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  .<_  x )
421, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41lattrd 14164 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  x )
43 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
4443rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
45 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  (
v  ./\  W )  =  ( y  ./\  W ) )
4645eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  (
w  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4746cbvrexv 2765 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )
4844, 47syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4948, 10elrab2 2925 . . . . 5  |-  ( w  e.  T  <->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
50 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
51 simp13 987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  A. x  e.  S  z  .<_  x )
52 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  y ) )
5352rspcva 2882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  A. x  e.  S  z 
.<_  x )  ->  z  .<_  y )
5450, 51, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  y )
55 simp11l 1066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  HL )
56553ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5756, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
58 simp12 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  e.  B )
5956, 8syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
60 simp112 1085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
611, 3clatglbcl 14218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
6259, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
63 simp11r 1067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  W  e.  H )
64633ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  H )
6564, 21syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  B )
661, 2, 3clatleglb 14230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6759, 58, 60, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6851, 67mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( G `  S
) )
69 simp113 1086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  W )
701, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69lattrd 14164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  W )
7160, 50sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
721, 2, 23latlem12 14184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  B  /\  y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7357, 58, 71, 65, 72syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7454, 70, 73mpbi2and 887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( y  ./\  W
) )
75743expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
z  .<_  ( y  ./\  W ) ) )
76 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  ( z  .<_  w  <->  z  .<_  ( y 
./\  W ) ) )
7776biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( z 
.<_  ( y  ./\  W
)  ->  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
7875, 77syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w )
) )
7978rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  ( E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
8079expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( (
w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )  ->  z  .<_  w ) )
8149, 80syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( w  e.  T  ->  z  .<_  w ) )
8281ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  A. w  e.  T  z  .<_  w )
8355, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  CLat )
84 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  e.  B )
851, 2, 3clatleglb 14230 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  T  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8612, 85mp3an3 1266 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8783, 84, 86syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( z  .<_  ( G `  T
)  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8882, 87mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  .<_  ( G `  T ) )
89 simp2 956 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
901, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14isglbd 14221 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   glbcglb 14077   meetcmee 14079   Latclat 14151   CLatccla 14213   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  31485  dihglblem3aN  31486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-clat 14214  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-lhyp 30177
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