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Theorem dihglblem2N 31789
Description: The GLB of a set of lattice elements  S is the same as that of the set  T with elements of  S cut down to be under  W. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihglblem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihglblem.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem.t  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Distinct variable groups:    v, u,  ./\    u, B    u, S, v   
u, W, v
Allowed substitution hints:    B( v)    T( v, u)    G( v, u)    H( v, u)    K( v, u)   
.<_ ( v, u)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihglblem.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dihglblem.g . 2  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 simpl1l 1008 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5 hllat 29858 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
7 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  HL )
8 hlclat 29853 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  K  e.  CLat )
10 dihglblem.t . . . . . 6  |-  T  =  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }
11 ssrab2 3396 . . . . . 6  |-  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  C_  B
1210, 11eqsstri 3346 . . . . 5  |-  T  C_  B
131, 3clatglbcl 14504 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B )  ->  ( G `  T )  e.  B )
149, 12, 13sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  T
)  e.  B )
1514adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  e.  B )
16 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1816, 17sseldd 3317 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
19 simpl1r 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  H )
20 dihglblem.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
211, 20lhpbase 30492 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  B )
23 dihglblem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
241, 23latmcl 14443 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  e.  B )
256, 18, 22, 24syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  B )
264, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
27 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
28 oveq1 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )
2928eqeq2d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  W
)  =  ( v 
./\  W )  <->  ( x  ./\ 
W )  =  ( x  ./\  W )
) )
3029rspcev 3020 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  ( x  ./\  W )  =  ( x  ./\  W ) )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
3117, 27, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
)
32 eqeq1 2418 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( u  =  ( v  ./\  W )  <->  ( x  ./\  W )  =  ( v 
./\  W ) ) )
3332rexbidv 2695 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( x  ./\  W )  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  ( x  ./\  W )  =  ( v  ./\  W ) ) )
3433elrab 3060 . . . . . 6  |-  ( ( x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) }  <->  ( (
x  ./\  W )  e.  B  /\  E. v  e.  S  ( x  ./\ 
W )  =  ( v  ./\  W )
) )
3525, 31, 34sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  { u  e.  B  |  E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W ) } )
3635, 10syl6eleqr 2503 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  e.  T )
371, 2, 3clatglble 14515 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  ( x 
./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3812, 37mp3an2 1267 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
x  ./\  W )  e.  T )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
3926, 36, 38syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  ( x  ./\  W
) )
401, 2, 23latmle1 14468 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( x  ./\  W
)  .<_  x )
416, 18, 22, 40syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  ./\  W )  .<_  x )
421, 2, 6, 15, 25, 18, 39, 41lattrd 14450 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  T )  .<_  x )
43 eqeq1 2418 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
4443rexbidv 2695 . . . . . . 7  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W
) ) )
45 oveq1 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  (
v  ./\  W )  =  ( y  ./\  W ) )
4645eqeq2d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  (
w  =  ( v 
./\  W )  <->  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4746cbvrexv 2901 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  w  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )
4844, 47syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  ( E. v  e.  S  u  =  ( v  ./\  W )  <->  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
4948, 10elrab2 3062 . . . . 5  |-  ( w  e.  T  <->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W
) ) )
50 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
51 simp13 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  A. x  e.  S  z  .<_  x )
52 breq2 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  y ) )
5352rspcva 3018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  A. x  e.  S  z 
.<_  x )  ->  z  .<_  y )
5450, 51, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  y )
55 simp11l 1068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  HL )
56553ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  HL )
5756, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
58 simp12 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  e.  B )
5956, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
60 simp112 1087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
611, 3clatglbcl 14504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
6259, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  e.  B )
63 simp11r 1069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  W  e.  H )
64633ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  H )
6564, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  W  e.  B )
661, 2, 3clatleglb 14516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6759, 58, 60, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  z  .<_  x ) )
6851, 67mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( G `  S
) )
69 simp113 1088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  W )
701, 2, 57, 58, 62, 65, 68, 69lattrd 14450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  W )
7160, 50sseldd 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
721, 2, 23latlem12 14470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  B  /\  y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7357, 58, 71, 65, 72syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  .<_  y  /\  z  .<_  W )  <->  z  .<_  ( y  ./\  W )
) )
7454, 70, 73mpbi2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B  /\  y  e.  S )  ->  z  .<_  ( y  ./\  W
) )
75743expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
z  .<_  ( y  ./\  W ) ) )
76 breq2 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  ( z  .<_  w  <->  z  .<_  ( y 
./\  W ) ) )
7776biimprcd 217 . . . . . . . 8  |-  ( z 
.<_  ( y  ./\  W
)  ->  ( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
7875, 77syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
( w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w )
) )
7978rexlimdv 2797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  /\  w  e.  B )  ->  ( E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W )  ->  z  .<_  w ) )
8079expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( (
w  e.  B  /\  E. y  e.  S  w  =  ( y  ./\  W ) )  ->  z  .<_  w ) )
8149, 80syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( w  e.  T  ->  z  .<_  w ) )
8281ralrimiv 2756 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  A. w  e.  T  z  .<_  w )
8355, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  K  e.  CLat )
84 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  e.  B )
851, 2, 3clatleglb 14516 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B  /\  T  C_  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8612, 85mp3an3 1268 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  z  e.  B )  ->  (
z  .<_  ( G `  T )  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8783, 84, 86syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  ( z  .<_  ( G `  T
)  <->  A. w  e.  T  z  .<_  w ) )
8882, 87mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `
 S )  .<_  W )  /\  z  e.  B  /\  A. x  e.  S  z  .<_  x )  ->  z  .<_  ( G `  T ) )
89 simp2 958 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  S  C_  B )
901, 2, 3, 42, 88, 9, 89, 14isglbd 14507 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  B  /\  ( G `  S
)  .<_  W )  -> 
( G `  S
)  =  ( G `
 T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   glbcglb 14363   meetcmee 14365   Latclat 14437   CLatccla 14499   HLchlt 29845   LHypclh 30478
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  31790  dihglblem3aN  31791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-poset 14366  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-lat 14438  df-clat 14500  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-lhyp 30482
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