Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5 Unicode version

Theorem dihglblem5 31414
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihglblem5.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dihglblem5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihglblem5.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihglblem5.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihglblem5.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dihglblem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^|_ x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
Distinct variable groups:    x, B    x, H    x, K    x, S    x, T    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    G( x)    I( x)

Proof of Theorem dihglblem5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5683 . . 3  |-  ( I `
 x )  e. 
_V
21dfiin2 4069 . 2  |-  |^|_ x  e.  T  ( I `  x )  =  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }
3 dihglblem5.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dihglblem5.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
63, 4, 5dvhlmod 31226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  U  e.  LMod )
7 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  T  C_  B )
9 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
108, 9sseldd 3293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  B )
11 dihglblem5.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 dihglblem5.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 dihglblem5.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
1411, 3, 12, 4, 13dihlss 31366 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  B
)  ->  ( I `  x )  e.  S
)
157, 10, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  T )  ->  ( I `  x
)  e.  S )
1615ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
17 uniiunlem 3375 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  T  (
I `  x )  e.  S  ->  ( A. x  e.  T  (
I `  x )  e.  S  <->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  C_  S ) )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  T  ( I `  x )  e.  S  <->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  C_  S
) )
1916, 18mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  C_  S )
20 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  T  =/=  (/) )
21 n0 3581 . . . . 5  |-  ( T  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  T )
2220, 21sylib 189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  T )
23 nfre1 2706 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  e.  T  y  =  ( I `  x )
2423nfab 2528 . . . . . 6  |-  F/_ x { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }
25 nfcv 2524 . . . . . 6  |-  F/_ x (/)
2624, 25nfne 2642 . . . . 5  |-  F/ x { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/)
271elabrex 5925 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  (
I `  x )  e.  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) } )
28 ne0i 3578 . . . . . 6  |-  ( ( I `  x )  e.  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  =/=  (/) )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  T  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3026, 29exlimi 1811 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  T  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3122, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )
3213lssintcl 15968 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  {
y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x
) }  C_  S  /\  { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  e.  S )
336, 19, 31, 32syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  T  y  =  ( I `  x ) }  e.  S )
342, 33syl5eqel 2472 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( T  C_  B  /\  T  =/=  (/) ) )  ->  |^|_ x  e.  T  ( I `  x
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   (/)c0 3572   |^|cint 3993   |^|_ciin 4037   ` cfv 5395   Basecbs 13397   glbcglb 14328   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   HLchlt 29466   LHypclh 30099   DVecHcdvh 31194   DIsoHcdih 31344
This theorem is referenced by:  dihglblem6  31456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-undef 6480  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-0g 13655  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-p1 14397  df-lat 14403  df-clat 14465  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-drng 15765  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-lvec 16103  df-oposet 29292  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-llines 29613  df-lplanes 29614  df-lvols 29615  df-lines 29616  df-psubsp 29618  df-pmap 29619  df-padd 29911  df-lhyp 30103  df-laut 30104  df-ldil 30219  df-ltrn 30220  df-trl 30274  df-tendo 30870  df-edring 30872  df-disoa 31145  df-dvech 31195  df-dib 31255  df-dic 31289  df-dih 31345
  Copyright terms: Public domain W3C validator