Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatb Unicode version

Theorem dihjatb 31424
Description: Isomorphism H of lattice join of two atoms under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihjatb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihjatb.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihjatb.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihjatb.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihjatb.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihjatb.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihjatb.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihjatb.p  |-  ( ph  ->  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W ) )
dihjatb.q  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )
Assertion
Ref Expression
dihjatb  |-  ( ph  ->  ( I `  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( I `
 P )  .(+)  ( I `  Q ) ) )

Proof of Theorem dihjatb
StepHypRef Expression
1 dihjatb.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 dihjatb.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 dihjatb.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 dihjatb.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dihjatb.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 dihjatb.s . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
7 dihjatb.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
8 dihjatb.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 dihjatb.p . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W ) )
10 dihjatb.q . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dih2dimb 31252 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( P  .\/  Q ) ) 
C_  ( ( I `
 P )  .(+)  ( I `  Q ) ) )
12 eqid 2316 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
139simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
1412, 3atbase 29297 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
1610simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
1712, 3atbase 29297 . . . 4  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
1816, 17syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
1912, 4, 2, 5, 6, 7, 8, 15, 18dihsumssj 31416 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  P )  .(+)  ( I `
 Q ) ) 
C_  ( I `  ( P  .\/  Q ) ) )
2011, 19eqssd 3230 1  |-  ( ph  ->  ( I `  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( I `
 P )  .(+)  ( I `  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   lecple 13262   joincjn 14127   LSSumclsm 14994   Atomscatm 29271   HLchlt 29358   LHypclh 29991   DVecHcdvh 31086   DIsoHcdih 31236
This theorem is referenced by:  dihjat  31431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-undef 6340  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-0g 13453  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-cntz 14842  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-dvr 15514  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905  df-lsatoms 28984  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507  df-lines 29508  df-psubsp 29510  df-pmap 29511  df-padd 29803  df-lhyp 29995  df-laut 29996  df-ldil 30111  df-ltrn 30112  df-trl 30166  df-tgrp 30750  df-tendo 30762  df-edring 30764  df-dveca 31010  df-disoa 31037  df-dvech 31087  df-dib 31147  df-dic 31181  df-dih 31237  df-doch 31356  df-djh 31403
  Copyright terms: Public domain W3C validator