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Theorem dihjatcclem4 31611
Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatcclem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihjatcclem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihjatcclem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihjatcclem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihjatcclem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihjatcclem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihjatcclem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihjatcclem.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihjatcclem.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihjatcclem.v  |-  V  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
dihjatcclem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihjatcclem.p  |-  ( ph  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
dihjatcclem.q  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
dihjatcc.w  |-  C  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihjatcc.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihjatcc.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihjatcc.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihjatcc.g  |-  G  =  ( iota_ d  e.  T
( d `  C
)  =  P )
dihjatcc.dd  |-  D  =  ( iota_ d  e.  T
( d `  C
)  =  Q )
dihjatcc.n  |-  N  =  ( a  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  `' ( a `  d ) ) )
dihjatcc.o  |-  .0.  =  ( d  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dihjatcc.d  |-  J  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  ( ( a `  d )  o.  (
b `  d )
) ) )
Assertion
Ref Expression
dihjatcclem4  |-  ( ph  ->  ( I `  V
)  C_  ( (
I `  P )  .(+)  ( I `  Q
) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , d    A, d    B, d    C, d   
a, b, E    H, d    P, d    a, d, K, b    Q, d    T, a, b, d    W, a, b, d
Allowed substitution hints:    ph( a, b, d)    A( a, b)    B( a, b)    C( a, b)    D( a, b, d)    P( a, b)    .(+) ( a, b,
d)    Q( a, b)    R( a, b, d)    U( a, b, d)    E( d)    G( a, b, d)    H( a, b)    I( a, b, d)    J( a, b, d)    .\/ ( a, b, d)    .<_ ( a, b)    ./\ ( a, b, d)    N( a, b, d)    V( a, b, d)    .0. ( a,
b, d)

Proof of Theorem dihjatcclem4
Dummy variables  t 
f  s  g  h  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihjatcclem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihjatcclem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dihjatcclem.i . . . 4  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
42, 3dihvalrel 31469 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  V ) )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  Rel  ( I `  V ) )
61adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 dihjatcclem.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 dihjatcclem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 dihjatcc.w . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
107, 8, 2, 9lhpocnel2 30208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W ) )
111, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W ) )
12 dihjatcclem.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
13 dihjatcc.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 dihjatcc.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( iota_ d  e.  T
( d `  C
)  =  P )
157, 8, 2, 13, 14ltrniotacl 30768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
161, 11, 12, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  T )
17 dihjatcclem.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
18 dihjatcc.dd . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( iota_ d  e.  T
( d `  C
)  =  Q )
197, 8, 2, 13, 18ltrniotacl 30768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( C  e.  A  /\  -.  C  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  D  e.  T )
201, 11, 17, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  T )
212, 13ltrncnv 30335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  D  e.  T
)  ->  `' D  e.  T )
221, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' D  e.  T
)
232, 13ltrnco 30908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' D  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' D )  e.  T
)
241, 16, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  o.  `' D )  e.  T
)
2524adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( G  o.  `' D )  e.  T
)
26 simprll 738 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
f  e.  T )
27 simprlr 739 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  V )
28 dihjatcclem.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
29 dihjatcclem.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
30 dihjatcclem.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31 dihjatcclem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
32 dihjatcclem.s . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
33 dihjatcclem.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
34 dihjatcc.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
35 dihjatcc.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
3628, 7, 2, 29, 30, 8, 31, 32, 3, 33, 1, 12, 17, 9, 13, 34, 35, 14, 18dihjatcclem3 31610 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R `  ( G  o.  `' D
) )  =  V )
3736adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( R `  ( G  o.  `' D
) )  =  V )
3827, 37breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( R `  f
)  .<_  ( R `  ( G  o.  `' D ) ) )
397, 2, 13, 34, 35tendoex 31164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G  o.  `' D )  e.  T  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f )  .<_  ( R `  ( G  o.  `' D
) ) )  ->  E. t  e.  E  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )
406, 25, 26, 38, 39syl121anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  ->  E. t  e.  E  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )
41 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  E  ( t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f  <->  E. t
( t  e.  E  /\  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f ) )
4240, 41sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  ->  E. t ( t  e.  E  /\  ( t `
 ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )
43 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  G
)  =  ( t `
 G ) )
44 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
t  e.  E )
451ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4612ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
47 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t `
 G )  e. 
_V
48 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
497, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 14, 47, 48dihopelvalcqat 31436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  <->  ( (
t `  G )  =  ( t `  G )  /\  t  e.  E ) ) )
5045, 46, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  <->  ( (
t `  G )  =  ( t `  G )  /\  t  e.  E ) ) )
5143, 44, 50mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
) )
52 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( ( N `  t ) `  D
)  =  ( ( N `  t ) `
 D ) )
53 dihjatcc.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( a  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  `' ( a `  d ) ) )
542, 13, 35, 53tendoicl 30985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E
)  ->  ( N `  t )  e.  E
)
5545, 44, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( N `  t
)  e.  E )
5617ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
57 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  t ) `
 D )  e. 
_V
58 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 t )  e. 
_V
597, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 18, 57, 58dihopelvalcqat 31436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q )  <->  ( (
( N `  t
) `  D )  =  ( ( N `
 t ) `  D )  /\  ( N `  t )  e.  E ) ) )
6045, 56, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q )  <->  ( (
( N `  t
) `  D )  =  ( ( N `
 t ) `  D )  /\  ( N `  t )  e.  E ) ) )
6152, 55, 60mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  <. ( ( N `  t ) `  D
) ,  ( N `
 t ) >.  e.  ( I `  Q
) )
6216ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  G  e.  T )
6322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  `' D  e.  T
)
642, 13, 35tendospdi1 31210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  G  e.  T  /\  `' D  e.  T ) )  -> 
( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  ( ( t `  G
)  o.  ( t `
 `' D ) ) )
6545, 44, 62, 63, 64syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  ( ( t `  G
)  o.  ( t `
 `' D ) ) )
66 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )
6720ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  D  e.  T )
6853, 13tendoi2 30984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  E  /\  D  e.  T )  ->  ( ( N `  t ) `  D
)  =  `' ( t `  D ) )
6944, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( ( N `  t ) `  D
)  =  `' ( t `  D ) )
702, 13, 35tendocnv 31211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  D  e.  T
)  ->  `' (
t `  D )  =  ( t `  `' D ) )
7145, 44, 67, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  `' ( t `  D )  =  ( t `  `' D
) )
7269, 71eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t `  `' D )  =  ( ( N `  t
) `  D )
)
7372coeq2d 4846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( ( t `  G )  o.  (
t `  `' D
) )  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) ) )
7465, 66, 733eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
f  =  ( ( t `  G )  o.  ( ( N `
 t ) `  D ) ) )
75 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
s  =  .0.  )
76 dihjatcc.d . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( d  e.  T  |->  ( ( a `  d )  o.  (
b `  d )
) ) )
77 dihjatcc.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( d  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
782, 13, 35, 53, 28, 76, 77tendoipl2 30987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E
)  ->  ( t J ( N `  t ) )  =  .0.  )
7945, 44, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
( t J ( N `  t ) )  =  .0.  )
8075, 79eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  -> 
s  =  ( t J ( N `  t ) ) )
81 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  <. g ,  t >.  =  <. ( t `  G ) ,  t >. )
8281eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  <->  <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P ) ) )
8382anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  <->  ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) ) ) )
84 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
g  o.  h )  =  ( ( t `
 G )  o.  h ) )
8584eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
f  =  ( g  o.  h )  <->  f  =  ( ( t `  G )  o.  h
) ) )
8685anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) )  <->  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  h
)  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
8783, 86anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( t `  G )  ->  (
( ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  ( ( <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( ( t `
 G )  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
88 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  <. h ,  u >.  =  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  u >. )
8988eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  ( <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q
)  <->  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  u >.  e.  ( I `  Q ) ) )
9089anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  <->  ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  u >.  e.  ( I `  Q ) ) ) )
91 coeq2 4842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( t `  G
)  o.  h )  =  ( ( t `
 G )  o.  ( ( N `  t ) `  D
) ) )
9291eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
f  =  ( ( t `  G )  o.  h )  <->  f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
) ) )
9392anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( f  =  ( ( t `  G
)  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) )  <->  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
9490, 93anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( ( N `
 t ) `  D )  ->  (
( ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G
)  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  ( ( <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. ( ( N `  t ) `
 D ) ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( ( t `
 G )  o.  ( ( N `  t ) `  D
) )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
95 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  <. (
( N `  t
) `  D ) ,  u >.  =  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  ( N `  t ) >. )
9695eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  ( <. ( ( N `  t ) `  D
) ,  u >.  e.  ( I `  Q
)  <->  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q ) ) )
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  <->  ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q ) ) ) )
98 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
t J u )  =  ( t J ( N `  t
) ) )
9998eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
s  =  ( t J u )  <->  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) )
10099anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
( f  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) )  /\  s  =  ( t J u ) )  <->  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) ) )
10197, 100anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( N `  t )  ->  (
( ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  ( ( <. ( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. ( ( N `  t ) `
 D ) ,  ( N `  t
) >.  e.  ( I `
 Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) ) ) )
10287, 94, 101syl3an9b 1250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  ( t `
 G )  /\  h  =  ( ( N `  t ) `  D )  /\  u  =  ( N `  t ) )  -> 
( ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <-> 
( ( <. (
t `  G ) ,  t >.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `
 t ) `  D ) ,  ( N `  t )
>.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G
)  o.  ( ( N `  t ) `
 D ) )  /\  s  =  ( t J ( N `
 t ) ) ) ) ) )
103102spc3egv 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t `  G
)  e.  _V  /\  ( ( N `  t ) `  D
)  e.  _V  /\  ( N `  t )  e.  _V )  -> 
( ( ( <.
( t `  G
) ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. ( ( N `  t ) `
 D ) ,  ( N `  t
) >.  e.  ( I `
 Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `  G )  o.  (
( N `  t
) `  D )
)  /\  s  =  ( t J ( N `  t ) ) ) )  ->  E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
10447, 57, 58, 103mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. ( t `  G ) ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. ( ( N `  t
) `  D ) ,  ( N `  t ) >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( ( t `
 G )  o.  ( ( N `  t ) `  D
) )  /\  s  =  ( t J ( N `  t
) ) ) )  ->  E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
10551, 61, 74, 80, 104syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
)  /\  ( t  e.  E  /\  (
t `  ( G  o.  `' D ) )  =  f ) )  ->  E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
106105ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( ( t  e.  E  /\  ( t `
 ( G  o.  `' D ) )  =  f )  ->  E. g E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
107106eximdv 1608 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( E. t ( t  e.  E  /\  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )  ->  E. t E. g E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
108 excom 1786 . . . . . 6  |-  ( E. t E. g E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
109107, 108syl6ib 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  -> 
( E. t ( t  e.  E  /\  ( t `  ( G  o.  `' D
) )  =  f )  ->  E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
11042, 109mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) )  ->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) )
111110ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )  ->  E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  P
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Q )
)  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
1121simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
113 hllat 29553 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
114112, 113syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Lat )
11512simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
11617simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
11728, 29, 8hlatjcl 29556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
118112, 115, 116, 117syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
1191simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  H )
12028, 2lhpbase 30187 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
121119, 120syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  B )
12228, 30latmcl 14157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  e.  B )
123114, 118, 121, 122syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  e.  B )
12433, 123syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  B )
12528, 7, 30latmle2 14183 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )  .<_  W )
126114, 118, 121, 125syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
12733, 126syl5eqbr 4056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  .<_  W )
128 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
12928, 7, 2, 3, 128dihvalb 31427 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  B  /\  V  .<_  W ) )  ->  (
I `  V )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  V
) )
1301, 124, 127, 129syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  V
)  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  V
) )
131130eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  V )  <->  <. f ,  s >.  e.  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  V ) ) )
13228, 7, 2, 13, 34, 77, 128dibopelval3 31338 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  B  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  V )  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  V )  /\  s  =  .0.  )
) )
1331, 124, 127, 132syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  V
)  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  V )  /\  s  =  .0.  ) ) )
134131, 133bitrd 244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  V )  <->  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  V )  /\  s  =  .0.  ) ) )
135 eqid 2283 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
13628, 8atbase 29479 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
137115, 136syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
13828, 8atbase 29479 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
139116, 138syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
14028, 2, 13, 35, 76, 31, 135, 32, 3, 1, 137, 139dihopellsm 31445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( ( I `
 P )  .(+)  ( I `  Q ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  P )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Q ) )  /\  ( f  =  ( g  o.  h )  /\  s  =  ( t J u ) ) ) ) )
141111, 134, 1403imtr4d 259 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  V )  ->  <. f ,  s >.  e.  ( ( I `  P
)  .(+)  ( I `  Q ) ) ) )
1425, 141relssdv 4779 1  |-  ( ph  ->  ( I `  V
)  C_  ( (
I `  P )  .(+)  ( I `  Q
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   occoc 13216   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   LSSumclsm 14945   LSubSpclss 15689   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347   TEndoctendo 30941   DVecHcdvh 31268   DIsoBcdib 31328   DIsoHcdih 31418
This theorem is referenced by:  dihjatcc  31612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419
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