Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihlsprn Unicode version

Theorem dihlsprn 31339
Description: The span of a vector belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihlsprn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihlsprn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihlsprn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dihlsprn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dihlsprn.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihlsprn  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )

Proof of Theorem dihlsprn
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  X  =  ( 0g `  U ) )
21sneqd 3687 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  { X }  =  {
( 0g `  U
) } )
32fveq2d 5567 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  -> 
( N `  { X } )  =  ( N `  { ( 0g `  U ) } ) )
4 dihlsprn.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dihlsprn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6dvhlmod 31118 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  U  e.  LMod )
8 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
9 dihlsprn.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
108, 9lspsn0 15814 . . . . 5  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( N `
 { ( 0g
`  U ) } )  =  { ( 0g `  U ) } )
117, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  -> 
( N `  {
( 0g `  U
) } )  =  { ( 0g `  U ) } )
123, 11eqtrd 2348 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  -> 
( N `  { X } )  =  {
( 0g `  U
) } )
13 dihlsprn.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
144, 13, 5, 8dih0rn 31292 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  I )
1514ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  { ( 0g `  U ) }  e.  ran  I )
1612, 15eqeltrd 2390 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  -> 
( N `  { X } )  e.  ran  I )
17 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  U
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
184, 5, 17dvhlmod 31118 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  U
) )  ->  U  e.  LMod )
19 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  U
) )  ->  X  e.  V )
20 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  U
) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
21 dihlsprn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
22 eqid 2316 . . . . 5  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
2321, 9, 8, 22lsatlspsn2 29000 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  U
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
2418, 19, 20, 23syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  U
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
254, 5, 13, 22dih1dimat 31338 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U )
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2617, 24, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  U
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2716, 26pm2.61dane 2557 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   {csn 3674   ran crn 4727   ` cfv 5292   Basecbs 13195   0gc0g 13449   LModclmod 15676   LSpanclspn 15777  LSAtomsclsa 28982   HLchlt 29358   LHypclh 29991   DVecHcdvh 31086   DIsoHcdih 31236
This theorem is referenced by:  dihlspsnssN  31340  dihlspsnat  31341  dihatexv2  31347  dochocsn  31389  dochsncom  31390  djhcvat42  31423  dihprrnlem1N  31432  dihprrnlem2  31433  dihprrn  31434  dihjat1lem  31436  dihsmsnrn  31443  dochsatshpb  31460  dochsnkr2cl  31482  lcfl7lem  31507  lclkrlem2a  31515  lclkrlem2c  31517  lcfrlem14  31564  hdmapoc  31942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-undef 6340  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-0g 13453  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-cntz 14842  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-dvr 15514  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905  df-lsatoms 28984  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507  df-lines 29508  df-psubsp 29510  df-pmap 29511  df-padd 29803  df-lhyp 29995  df-laut 29996  df-ldil 30111  df-ltrn 30112  df-trl 30166  df-tendo 30762  df-edring 30764  df-disoa 31037  df-dvech 31087  df-dib 31147  df-dic 31181  df-dih 31237
  Copyright terms: Public domain W3C validator