Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeet2 Structured version   Unicode version

Theorem dihmeet2 32144
Description: Reverse isomorphism H of a closed subspace intersection. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeet2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeet2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeet2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihmeet2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihmeet2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
dihmeet2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
Assertion
Ref Expression
dihmeet2  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )

Proof of Theorem dihmeet2
StepHypRef Expression
1 dihmeet2.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihmeet2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
3 dihmeet2.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dihmeet2.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
53, 4dihcnvid2 32071 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  X )
)  =  X )
61, 2, 5syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  X ) )  =  X )
7 dihmeet2.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ran  I
)
83, 4dihcnvid2 32071 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  (
I `  ( `' I `  Y )
)  =  Y )
91, 7, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  Y ) )  =  Y )
106, 9ineq12d 3543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  i^i  ( I `
 ( `' I `  Y ) ) )  =  ( X  i^i  Y ) )
11 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1211, 3, 4dihcnvcl 32069 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
) )
131, 2, 12syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )
)
1411, 3, 4dihcnvcl 32069 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  ran  I )  ->  ( `' I `  Y )  e.  ( Base `  K
) )
151, 7, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' I `  Y )  e.  (
Base `  K )
)
16 dihmeet2.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
1711, 16, 3, 4dihmeet 32141 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  X )  e.  (
Base `  K )  /\  ( `' I `  Y )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( I `  ( ( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) ) )  =  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  i^i  ( I `
 ( `' I `  Y ) ) ) )
181, 13, 15, 17syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  (
( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) ) )  =  ( ( I `  ( `' I `  X ) )  i^i  ( I `
 ( `' I `  Y ) ) ) )
193, 4dihmeetcl 32143 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e. 
ran  I  /\  Y  e.  ran  I ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  ran  I
)
201, 2, 7, 19syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  ran  I
)
213, 4dihcnvid2 32071 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  i^i  Y )  e.  ran  I
)  ->  ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( X  i^i  Y ) )
221, 20, 21syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( X  i^i  Y ) )
2310, 18, 223eqtr4rd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( I `
 ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) ) )
2411, 3, 4dihcnvcl 32069 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  i^i  Y )  e.  ran  I
)  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  e.  ( Base `  K
) )
251, 20, 24syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )
261simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
27 hllat 30161 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Lat )
2911, 16latmcl 14480 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( `' I `  X )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( `' I `  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )
3028, 13, 15, 29syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )
3111, 3, 4dih11 32063 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( `' I `  ( X  i^i  Y
) )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( `' I `  X )  ./\  ( `' I `  Y ) )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( I `
 ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )  <-> 
( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) ) )
321, 25, 30, 31syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) ) )  =  ( I `
 ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )  <-> 
( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) ) )
3323, 32mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( `' I `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( `' I `  X ) 
./\  ( `' I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319   `'ccnv 4877   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   meetcmee 14402   Latclat 14474   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DIsoHcdih 32026
This theorem is referenced by:  dihoml4c  32174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027
  Copyright terms: Public domain W3C validator