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Theorem dihmeetlem20N 32125
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem14.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem14.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem14.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeetlem14.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem14.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem14.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem14.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihmeetlem14.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihmeetlem14.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem20N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( I `  ( X  ./\  Y
) )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem dihmeetlem20N
Dummy variables  r 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2 959 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
3 simp3ll 1029 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  Y  e.  B )
4 simp3r 987 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
5 dihmeetlem14.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 dihmeetlem14.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 dihmeetlem14.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 dihmeetlem14.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
9 dihmeetlem14.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 dihmeetlem14.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
115, 6, 7, 8, 9, 10lhpmcvr6N 30826 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X ) )
121, 2, 3, 4, 11syl112anc 1189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X ) )
13 simp3l 986 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )
14 simp2l 984 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  X  e.  B )
15 simp1l 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  K  e.  HL )
16 hllat 30162 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  K  e.  Lat )
185, 8latmcom 14505 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  ./\  X
)  =  ( X 
./\  Y ) )
1917, 3, 14, 18syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( Y  ./\ 
X )  =  ( X  ./\  Y )
)
2019, 4eqbrtrd 4233 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( Y  ./\ 
X )  .<_  W )
215, 6, 7, 8, 9, 10lhpmcvr6N 30826 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  ./\  X ) 
.<_  W ) )  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) )
221, 13, 14, 20, 21syl112anc 1189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) )
23 reeanv 2876 . . 3  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) )  <->  ( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )
24 simp11 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simp12 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
2633ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  Y  e.  B )
27 simp2l 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  q  e.  A )
28 simp3l1 1063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  -.  q  .<_  W )
2927, 28jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
30 simp2r 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  r  e.  A )
31 simp3r1 1066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  -.  r  .<_  W )
3230, 31jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  (
r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )
33 simp3l3 1065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  q  .<_  X )
34 simp3r3 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  r  .<_  Y )
35 simp13r 1074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
3633, 34, 353jca 1135 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  (
q  .<_  X  /\  r  .<_  Y  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W ) )
37 dihmeetlem14.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
38 dihmeetlem14.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
39 dihmeetlem14.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
405, 6, 10, 7, 8, 9, 37, 38, 39dihmeetlem19N 32124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B
)  /\  ( (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  (
q  .<_  X  /\  r  .<_  Y  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W ) ) )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  ( I `  Y ) ) )
4124, 25, 26, 29, 32, 36, 40syl33anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  W ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) ) )  ->  (
I `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
42413exp 1153 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( (
q  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  ( ( ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) )  ->  ( I `  ( X  ./\  Y
) )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) ) ) )
4342rexlimdvv 2837 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) ) )
4423, 43syl5bir 211 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( ( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  -.  q  .<_  Y  /\  q  .<_  X )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  -.  r  .<_  X  /\  r  .<_  Y ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) ) )
4512, 22, 44mp2and 662 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )
)  ->  ( I `  ( X  ./\  Y
) )  =  ( ( I `  X
)  i^i  ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707    i^i cin 3320   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   lecple 13537   joincjn 14402   meetcmee 14403   Latclat 14475   LSSumclsm 15269   Atomscatm 30062   HLchlt 30149   LHypclh 30782   DVecHcdvh 31877   DIsoHcdih 32027
This theorem is referenced by:  dihmeetALTN  32126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tendo 31553  df-edring 31555  df-disoa 31828  df-dvech 31878  df-dib 31938  df-dic 31972  df-dih 32028
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