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Theorem dihmeetlem2N 32111
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeetlem2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihmeetlem2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem2.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihmeetlem2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihmeetlem2.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihmeetlem2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihmeetlem2.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  q )
dihmeetlem2.o  |-  .0.  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )

Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
3 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
4 dihmeetlem2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
6 dihmeetlem2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
74, 5, 6meetval 14145 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( ( glb `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
81, 2, 3, 7syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  ( ( glb `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
98fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) ) )
10 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
144, 11, 12, 13dibeldmN 31970 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( X  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  <->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
1514biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  X  e.  dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
16153adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) )
174, 11, 12, 13dibeldmN 31970 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  <->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
1817biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
19183adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) )
20 prssg 3786 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  e. 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
)  /\  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
)  <->  { X ,  Y }  C_  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) ) )
212, 3, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( X  e. 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
)  /\  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
)  <->  { X ,  Y }  C_  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) ) )
2216, 19, 21mpbi2and 887 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  { X ,  Y }  C_ 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
23 prnzg 3759 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
242, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
255, 12, 13dibglbN 31978 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { X ,  Y }  C_  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  /\  { X ,  Y }  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
2610, 22, 24, 25syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
279, 26eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  = 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
28 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
291, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
304, 6latmcl 14173 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
3129, 2, 3, 30syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  B )
32 simp1r 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
334, 12lhpbase 30809 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3432, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
354, 11, 6latmle1 14198 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
3629, 2, 3, 35syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X )
37 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  .<_  W )
384, 11, 29, 31, 2, 34, 36, 37lattrd 14180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  W )
39 dihmeetlem2.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
404, 11, 12, 39, 13dihvalb 32049 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X  ./\  Y ) ) )
4110, 31, 38, 40syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X  ./\  Y ) ) )
42 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
43 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
4443elpr 3671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { X ,  Y }  <->  ( x  =  X  \/  x  =  Y ) )
45 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
46 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  B  <->  X  e.  B ) )
47 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  W  <->  X  .<_  W ) )
4846, 47anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
4948adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
5045, 49mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
51 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
52 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  e.  B  <->  Y  e.  B ) )
53 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .<_  W  <->  Y  .<_  W ) )
5452, 53anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
5554adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
5651, 55mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
5750, 56jaodan 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( x  =  X  \/  x  =  Y ) )  -> 
( x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
5844, 57sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
594, 11, 12, 39, 13dihvalb 32049 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6042, 58, 59syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  (
I `  x )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6160iineq2dv 3943 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  = 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6227, 41, 613eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y } 
( I `  x
) )
63 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  x )  =  ( I `  X ) )
64 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
I `  x )  =  ( I `  Y ) )
6563, 64iinxprg 3995 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
662, 3, 65syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
6762, 66eqtrd 2328 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {cpr 3654   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   glbcglb 14093   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969   TEndoctendo 31563   DIsoBcdib 31950   DIsoHcdih 32040
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  32115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-disoa 31841  df-dib 31951  df-dih 32041
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