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Theorem dihmeetlem2N 32097
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeetlem2.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihmeetlem2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem2.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihmeetlem2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihmeetlem2.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihmeetlem2.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihmeetlem2.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  q )
dihmeetlem2.o  |-  .0.  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )

Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
3 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
4 dihmeetlem2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
6 dihmeetlem2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
74, 5, 6meetval 14452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( ( glb `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
81, 2, 3, 7syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  ( ( glb `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
98fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) ) )
10 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
144, 11, 12, 13dibeldmN 31956 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( X  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  <->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
1514biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  X  e.  dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
16153adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) )
174, 11, 12, 13dibeldmN 31956 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  <->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
1817biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
19183adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) )
20 prssg 3953 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  e. 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
)  /\  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
)  <->  { X ,  Y }  C_  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) ) )
212, 3, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( X  e. 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
)  /\  Y  e.  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
)  <->  { X ,  Y }  C_  dom  ( (
DIsoB `  K ) `  W ) ) )
2216, 19, 21mpbi2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  { X ,  Y }  C_ 
dom  ( ( DIsoB `  K ) `  W
) )
23 prnzg 3924 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
242, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  { X ,  Y }  =/=  (/) )
255, 12, 13dibglbN 31964 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( { X ,  Y }  C_  dom  ( ( DIsoB `  K
) `  W )  /\  { X ,  Y }  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
2610, 22, 24, 25syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( ( glb `  K ) `  { X ,  Y }
) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
279, 26eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  = 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
28 hllat 30161 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
291, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
304, 6latmcl 14480 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
3129, 2, 3, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  B )
32 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
334, 12lhpbase 30795 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
354, 11, 6latmle1 14505 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
3629, 2, 3, 35syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X )
37 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  .<_  W )
384, 11, 29, 31, 2, 34, 36, 37lattrd 14487 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  W )
39 dihmeetlem2.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
404, 11, 12, 39, 13dihvalb 32035 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X  ./\  Y ) ) )
4110, 31, 38, 40syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X  ./\  Y ) ) )
42 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
43 vex 2959 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
4443elpr 3832 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { X ,  Y }  <->  ( x  =  X  \/  x  =  Y ) )
45 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
46 eleq1 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  B  <->  X  e.  B ) )
47 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  W  <->  X  .<_  W ) )
4846, 47anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
4948adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) ) )
5045, 49mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  X )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
51 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
52 eleq1 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  e.  B  <->  Y  e.  B ) )
53 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .<_  W  <->  Y  .<_  W ) )
5452, 53anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
5554adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  (
( x  e.  B  /\  x  .<_  W )  <-> 
( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) ) )
5651, 55mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  =  Y )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
5750, 56jaodan 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( x  =  X  \/  x  =  Y ) )  -> 
( x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
5844, 57sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  (
x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )
594, 11, 12, 39, 13dihvalb 32035 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  B  /\  x  .<_  W ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6042, 58, 59syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  x  e. 
{ X ,  Y } )  ->  (
I `  x )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6160iineq2dv 4115 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  = 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  x
) )
6227, 41, 613eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  |^|_ x  e.  { X ,  Y } 
( I `  x
) )
63 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
I `  x )  =  ( I `  X ) )
64 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
I `  x )  =  ( I `  Y ) )
6563, 64iinxprg 4168 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
|^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
662, 3, 65syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  |^|_ x  e.  { X ,  Y }  ( I `
 x )  =  ( ( I `  X )  i^i  (
I `  Y )
) )
6762, 66eqtrd 2468 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( I `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( I `
 X )  i^i  ( I `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {cpr 3815   |^|_ciin 4094   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    _I cid 4493   dom cdm 4878    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   Basecbs 13469   lecple 13536   occoc 13537   glbcglb 14400   joincjn 14401   meetcmee 14402   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955   TEndoctendo 31549   DIsoBcdib 31936   DIsoHcdih 32026
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  32101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-disoa 31827  df-dib 31937  df-dih 32027
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