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Theorem dihmeetlem3N 32103
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem3N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )

Proof of Theorem dihmeetlem3N
StepHypRef Expression
1 simp2lr 1025 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  ( R  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
3 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
42, 3sylan9eqr 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
5 dihmeetlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 dihmeetlem3.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 simp11l 1068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  HL )
8 hllat 30161 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 simp2ll 1024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  A )
11 dihmeetlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
125, 11atbase 30087 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
1310, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  B )
14 simp12l 1070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  e.  B )
15 simp12r 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Y  e.  B )
16 dihmeetlem3.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
175, 16latmcl 14480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
189, 14, 15, 17syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
19 simp11r 1069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  H )
20 dihmeetlem3.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
215, 20lhpbase 30795 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  B )
235, 16latmcl 14480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
249, 14, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
25 dihmeetlem3.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
265, 6, 25latlej1 14489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
279, 13, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X 
./\  W ) ) )
28 simp2r 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  X )
2927, 28breqtrd 4236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  X )
305, 16latmcl 14480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
319, 15, 22, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Y  ./\ 
W )  e.  B
)
325, 6, 25latlej1 14489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
339, 13, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
34 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W
) )  =  Y )
3533, 34breqtrd 4236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  Y )
365, 6, 16latlem12 14507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
379, 13, 14, 15, 36syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( ( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3829, 35, 37mpbi2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
)
39 simp13 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
405, 6, 9, 13, 18, 22, 38, 39lattrd 14487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  W )
41403exp 1152 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y  ->  Q  .<_  W ) ) )
424, 41syl7 65 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  Q  .<_  W ) ) )
4342exp4a 590 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) ) ) )
44433imp 1147 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) )
4544necon3bd 2638 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( -.  Q  .<_  W  ->  Q  =/=  R ) )
461, 45mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   meetcmee 14402   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-lat 14475  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lhyp 30785
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