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Theorem dihmeetlem3N 31495
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dihmeetlem3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem3N  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )

Proof of Theorem dihmeetlem3N
StepHypRef Expression
1 simp2lr 1023 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  ( R  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
3 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
42, 3sylan9eqr 2337 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
5 dihmeetlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 dihmeetlem3.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 simp11l 1066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  HL )
8 hllat 29553 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  K  e.  Lat )
10 simp2ll 1022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  A )
11 dihmeetlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
125, 11atbase 29479 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
1310, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  e.  B )
14 simp12l 1068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  X  e.  B )
15 simp12r 1069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Y  e.  B )
16 dihmeetlem3.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
175, 16latmcl 14157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
189, 14, 15, 17syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
19 simp11r 1067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  H )
20 dihmeetlem3.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
215, 20lhpbase 30187 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2219, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  W  e.  B )
235, 16latmcl 14157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
249, 14, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
25 dihmeetlem3.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
265, 6, 25latlej1 14166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
279, 13, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( X 
./\  W ) ) )
28 simp2r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( X  ./\  W
) )  =  X )
2927, 28breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  X )
305, 16latmcl 14157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
319, 15, 22, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Y  ./\ 
W )  e.  B
)
325, 6, 25latlej1 14166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) ) )
339, 13, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
34 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  .\/  ( Y  ./\  W
) )  =  Y )
3533, 34breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  Y )
365, 6, 16latlem12 14184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
379, 13, 14, 15, 36syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( ( Q  .<_  X  /\  Q  .<_  Y )  <->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3829, 35, 37mpbi2and 887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  ( X  ./\  Y )
)
39 simp13 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
405, 6, 9, 13, 18, 22, 38, 39lattrd 14164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( Q 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  Q  .<_  W )
41403exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( Q  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y  ->  Q  .<_  W ) ) )
424, 41syl7 63 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  /\  Q  =  R )  ->  Q  .<_  W ) ) )
4342exp4a 589 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W )  ->  (
( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( (
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) ) ) )
44433imp 1145 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( Q  =  R  ->  Q  .<_  W ) )
4544necon3bd 2483 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( -.  Q  .<_  W  ->  Q  =/=  R ) )
461, 45mpd 14 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  W )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( Q  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( R  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  Q  =/=  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-lhyp 30177
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