Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem4preN Structured version   Unicode version

Theorem dihmeetlem4preN 32105
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihmeetlem4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihmeetlem4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dihmeetlem4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihmeetlem4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihmeetlem4.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihmeetlem4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihmeetlem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
dihmeetlem4.g  |-  G  =  ( iota_ g  e.  T
( g `  P
)  =  Q )
dihmeetlem4.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihmeetlem4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihmeetlem4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dihmeetlem4.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihmeetlem4.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem4preN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  Q )  i^i  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  =  {  .0.  } )
Distinct variable groups:    .<_ , g    A, g    g, h, H    B, h    g, K, h    Q, g    T, g, h    g, W, h    P, g
Allowed substitution hints:    A( h)    B( g)    P( h)    Q( h)    R( g, h)    U( g, h)    E( g, h)    G( g, h)    I( g, h)    .<_ ( h)    ./\ ( g, h)    O( g, h)    X( g, h)    .0. ( g, h)

Proof of Theorem dihmeetlem4preN
Dummy variables  f 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihmeetlem4.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dihmeetlem4.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
31, 2dihvalrel 32078 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  Q ) )
4 relin1 4993 . . . 4  |-  ( Rel  ( I `  Q
)  ->  Rel  ( ( I `  Q )  i^i  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( ( I `
 Q )  i^i  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
653ad2ant1 979 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  Rel  ( ( I `  Q )  i^i  ( I `  ( X  ./\  W ) ) ) )
71, 2dihvalrel 32078 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( 0. `  K ) ) )
8 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
9 dihmeetlem4.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihmeetlem4.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
118, 1, 2, 9, 10dih0 32079 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  ( 0. `  K ) )  =  {  .0.  }
)
1211releqd 4962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Rel  ( I `
 ( 0. `  K ) )  <->  Rel  {  .0.  } ) )
137, 12mpbid 203 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  {  .0.  }
)
14133ad2ant1 979 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  Rel  {  .0.  } )
15 id 21 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
16 elin 3531 . . . 4  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  ( ( I `  Q )  i^i  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) )  <-> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  Q )  /\  <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X 
./\  W ) ) ) )
17 dihmeetlem4.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 dihmeetlem4.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
19 dihmeetlem4.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
20 dihmeetlem4.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
21 dihmeetlem4.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
22 dihmeetlem4.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( iota_ g  e.  T
( g `  P
)  =  Q )
23 vex 2960 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
24 vex 2960 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
2517, 18, 1, 19, 20, 21, 2, 22, 23, 24dihopelvalcqat 32045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  Q )  <->  ( f  =  ( s `  G )  /\  s  e.  E ) ) )
26253adant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  Q )  <-> 
( f  =  ( s `  G )  /\  s  e.  E
) ) )
27 simp1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
28 simp1l 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
29 hllat 30162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
31 simp2l 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
32 simp1r 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
33 dihmeetlem4.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
3433, 1lhpbase 30796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
36 dihmeetlem4.m . . . . . . . . . . 11  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3733, 36latmcl 14481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
3830, 31, 35, 37syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
3933, 17, 36latmle2 14507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  .<_  W )
4030, 31, 35, 39syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  .<_  W )
41 dihmeetlem4.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
42 dihmeetlem4.o . . . . . . . . . 10  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
4333, 17, 1, 20, 41, 42, 2dihopelvalbN 32037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X 
./\  W )  e.  B  /\  ( X 
./\  W )  .<_  W ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( X  ./\  W ) )  <->  ( ( f  e.  T  /\  ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
) )  /\  s  =  O ) ) )
4427, 38, 40, 43syl12anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( X 
./\  W ) )  <-> 
( ( f  e.  T  /\  ( R `
 f )  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )
4526, 44anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  Q
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) )  <-> 
( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) ) )
46 simprll 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  f  =  ( s `  G ) )
47 simprrr 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  s  =  O )
4847fveq1d 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  ( s `  G )  =  ( O `  G ) )
49 simpl1 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5017, 18, 1, 19lhpocnel2 30817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
52 simpl3 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5317, 18, 1, 20, 22ltrniotacl 31377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
5449, 51, 52, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  G  e.  T
)
5542, 33tendo02 31585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  T  ->  ( O `  G )  =  (  _I  |`  B ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  ( O `  G )  =  (  _I  |`  B )
)
5746, 48, 563eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  f  =  (  _I  |`  B )
)
5857, 47jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( f  =  ( s `  G
)  /\  s  e.  E )  /\  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) ) )  ->  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O ) )
59 simpl1 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6059, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
61 simpl3 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
6259, 60, 61, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  G  e.  T )
6362, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( O `  G )  =  (  _I  |`  B ) )
64 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  s  =  O )
6564fveq1d 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  (
s `  G )  =  ( O `  G ) )
66 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  f  =  (  _I  |`  B ) )
6763, 65, 663eqtr4rd 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  f  =  ( s `  G ) )
6833, 1, 20, 21, 42tendo0cl 31588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
6959, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  O  e.  E )
7064, 69eqeltrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  s  e.  E )
7133, 1, 20idltrn 30948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
7259, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
7366, 72eqeltrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  f  e.  T )
7466fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( R `  f )  =  ( R `  (  _I  |`  B ) ) )
7533, 8, 1, 41trlid0 30974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( R `  (  _I  |`  B ) )  =  ( 0. `  K ) )
7659, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( R `  (  _I  |`  B ) )  =  ( 0. `  K
) )
7774, 76eqtrd 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( R `  f )  =  ( 0. `  K ) )
78 simpl1l 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  K  e.  HL )
79 hlatl 30159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  K  e.  AtLat )
8138adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
8233, 17, 8atl0le 30103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  ( 0. `  K )  .<_  ( X  ./\  W ) )
8380, 81, 82syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( 0. `  K )  .<_  ( X  ./\  W ) )
8477, 83eqbrtrd 4233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  ( R `  f )  .<_  ( X  ./\  W
) )
8573, 84, 64jca31 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  (
( f  e.  T  /\  ( R `  f
)  .<_  ( X  ./\  W ) )  /\  s  =  O ) )
8667, 70, 85jca31 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) )  ->  (
( f  =  ( s `  G )  /\  s  e.  E
)  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) )  /\  s  =  O ) ) )
8758, 86impbida 807 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( (
( f  =  ( s `  G )  /\  s  e.  E
)  /\  ( (
f  e.  T  /\  ( R `  f ) 
.<_  ( X  ./\  W
) )  /\  s  =  O ) )  <->  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O ) ) )
8845, 87bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  Q
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) )  <-> 
( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O
) ) )
89 opex 4428 . . . . . . . 8  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
9089elsnc 3838 . . . . . . 7  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  { <. (  _I  |`  B ) ,  O >. }  <->  <. f ,  s >.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  O >. )
9123, 24opth 4436 . . . . . . 7  |-  ( <.
f ,  s >.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  O >.  <->  ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O ) )
9290, 91bitr2i 243 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  (  _I  |`  B )  /\  s  =  O )  <->  <. f ,  s >.  e.  { <. (  _I  |`  B ) ,  O >. } )
9388, 92syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  Q
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  { <. (  _I  |`  B ) ,  O >. } ) )
9433, 1, 20, 9, 10, 42dvh0g 31910 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  O >. )
95943ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  .0.  =  <. (  _I  |`  B ) ,  O >. )
9695sneqd 3828 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  {  .0.  }  =  { <. (  _I  |`  B ) ,  O >. } )
9796eleq2d 2504 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  {  .0.  }  <->  <. f ,  s
>.  e.  { <. (  _I  |`  B ) ,  O >. } ) )
9893, 97bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  Q
)  /\  <. f ,  s >.  e.  (
I `  ( X  ./\ 
W ) ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  {  .0.  } ) )
9916, 98syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( ( I `  Q
)  i^i  ( I `  ( X  ./\  W
) ) )  <->  <. f ,  s >.  e.  {  .0.  } ) )
10099eqrelrdv2 4976 . 2  |-  ( ( ( Rel  ( ( I `  Q )  i^i  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  /\  Rel  {  .0.  } )  /\  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )  ->  ( ( I `
 Q )  i^i  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  =  {  .0.  } )
1016, 14, 15, 100syl21anc 1184 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( (
I `  Q )  i^i  ( I `  ( X  ./\  W ) ) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3320   {csn 3815   <.cop 3818   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    _I cid 4494    |` cres 4881   Rel wrel 4884   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   iota_crio 6543   Basecbs 13470   lecple 13537   occoc 13538   0gc0g 13724   meetcmee 14403   0.cp0 14467   Latclat 14475   Atomscatm 30062   AtLatcal 30063   HLchlt 30149   LHypclh 30782   LTrncltrn 30899   trLctrl 30956   TEndoctendo 31550   DVecHcdvh 31877   DIsoHcdih 32027
This theorem is referenced by:  dihmeetlem4N  32106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tendo 31553  df-edring 31555  df-disoa 31828  df-dvech 31878  df-dib 31938  df-dic 31972  df-dih 32028
  Copyright terms: Public domain W3C validator