Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Unicode version

Theorem dihopellsm 31372
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihopellsm.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihopellsm.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihopellsm.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihopellsm.a  |-  A  =  ( v  e.  E ,  w  e.  E  |->  ( i  e.  T  |->  ( ( v `  i )  o.  (
w `  i )
) ) )
dihopellsm.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihopellsm.l  |-  L  =  ( LSubSp `  U )
dihopellsm.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihopellsm.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihopellsm.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihopellsm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
dihopellsm.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dihopellsm  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, E    g, h, t, u, F    g, i, H, t    g, I, h, t, u    v, g, w, K, i, t    S, g, h, t, u    U, g, h, t, u   
g, W, i, t, v, w    g, X, h, t, u    g, Y, h, t, u    ph, g, h, t, u
Allowed substitution hints:    ph( w, v, i)    A( w, v, u, t, g, h, i)    B( w, v, u, t, g, h, i)    .(+) ( w, v, u, t, g, h, i)    S( w, v, i)    T( w, v, u, t, g, h, i)    U( w, v, i)    E( u, t, g, h, i)    F( w, v, i)    H( w, v, u, h)    I( w, v, i)    K( u, h)    L( w, v, u, t, g, h, i)    W( u, h)    X( w, v, i)    Y( w, v, i)

Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 dihopellsm.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 dihopellsm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 dihopellsm.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 dihopellsm.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
6 dihopellsm.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
83, 4, 5, 6, 7dihlss 31367 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  B
)  ->  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U ) )
91, 2, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  X
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
10 dihopellsm.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
113, 4, 5, 6, 7dihlss 31367 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( I `  Y )  e.  (
LSubSp `  U ) )
121, 10, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
13 eqid 2389 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
14 dihopellsm.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 31234 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  X )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( I `  Y
)  e.  ( LSubSp `  U ) )  -> 
( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
161, 9, 12, 15syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) ) ) )
17 dihopellsm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
18 dihopellsm.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
191adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
202adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  X  e.  B )
21 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 31370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. g ,  t >.  e.  (
I `  X )
)  ->  ( g  e.  T  /\  t  e.  E ) )
231adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2410adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  Y  e.  B )
25 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 31370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  ->  ( h  e.  T  /\  u  e.  E ) )
2722, 26anim12dan 811 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
) )
281adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( g  e.  T  /\  t  e.  E
) )
30 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( h  e.  T  /\  u  e.  E
) )
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( v  e.  E ,  w  e.  E  |->  ( i  e.  T  |->  ( ( v `  i )  o.  (
w `  i )
) ) )
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 31211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  u  e.  E )
)  ->  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  =  <. ( g  o.  h ) ,  ( t A u )
>. )
3328, 29, 30, 32syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. g ,  t
>. ( +g  `  U
) <. h ,  u >. )  =  <. (
g  o.  h ) ,  ( t A u ) >. )
3433eqeq2d 2400 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <->  <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.
) )
35 vex 2904 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
36 vex 2904 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
3735, 36coex 5355 . . . . . . 7  |-  ( g  o.  h )  e. 
_V
38 ovex 6047 . . . . . . 7  |-  ( t A u )  e. 
_V
3937, 38opth2 4381 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  S >.  = 
<. ( g  o.  h
) ,  ( t A u ) >.  <->  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) )
4034, 39syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  e.  T  /\  t  e.  E )  /\  ( h  e.  T  /\  u  e.  E
) ) )  -> 
( <. F ,  S >.  =  ( <. g ,  t >. ( +g  `  U ) <.
h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4127, 40syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( <. g ,  t >.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) ) )  ->  ( <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. )  <-> 
( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) )
4241pm5.32da 623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
43424exbidv 1637 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g E. t E. h E. u ( ( <.
g ,  t >.  e.  ( I `  X
)  /\  <. h ,  u >.  e.  (
I `  Y )
)  /\  <. F ,  S >.  =  ( <.
g ,  t >.
( +g  `  U )
<. h ,  u >. ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
4416, 43bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  S >.  e.  ( ( I `
 X )  .(+)  ( I `  Y ) )  <->  E. g E. t E. h E. u ( ( <. g ,  t
>.  e.  ( I `  X )  /\  <. h ,  u >.  e.  ( I `  Y ) )  /\  ( F  =  ( g  o.  h )  /\  S  =  ( t A u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3762    e. cmpt 4209    o. ccom 4824   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   LSSumclsm 15197   LSubSpclss 15937   HLchlt 29467   LHypclh 30100   LTrncltrn 30217   TEndoctendo 30868   DVecHcdvh 31195   DIsoHcdih 31345
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  31538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-undef 6481  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-0g 13656  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-lsm 15199  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-dvr 15717  df-drng 15766  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lvec 16104  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616  df-lines 29617  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-padd 29912  df-lhyp 30104  df-laut 30105  df-ldil 30220  df-ltrn 30221  df-trl 30275  df-tendo 30871  df-edring 30873  df-disoa 31146  df-dvech 31196  df-dib 31256  df-dic 31290  df-dih 31346
  Copyright terms: Public domain W3C validator