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Theorem dihord6apre 31371
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord6apre.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord6apre.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord6apre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihord6apre.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord6apre.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihord6apre.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dihord6apre.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihord6apre.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihord6apre.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihord6apre.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihord6apre.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihord6apre.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  q )
Assertion
Ref Expression
dihord6apre  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Distinct variable groups:    .<_ , q    A, q    h, q, B    H, q    I, q    h, K, q    O, q    T, h, q    h, W, q    X, q    Y, q
Allowed substitution hints:    A( h)    P( h, q)    .(+) ( h, q)    U( h, q)    E( h, q)    G( h, q)    H( h)    I( h)    .<_ ( h)    O( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem dihord6apre
StepHypRef Expression
1 dihord6apre.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihord6apre.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dihord6apre.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 dihord6apre.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 dihord6apre.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
61, 2, 3, 4, 5tendo1ne0 30942 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
763ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
87neneqd 2566 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  (  _I  |`  T )  =  O )
9 dihord6apre.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
11 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
12 dihord6apre.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 9, 10, 11, 12, 2lhpmcvr2 30138 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
14133adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
15 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
18 dihord6apre.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
19 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
20 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
21 dihord6apre.u . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
22 dihord6apre.s . . . . . . . . . . . 12  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
231, 9, 10, 11, 12, 2, 18, 19, 20, 21, 22dihvalcq 31351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) )
2415, 16, 17, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) )
25 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
261, 9, 2, 18, 19dihvalb 31352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (
I `  Y )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )
2715, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y ) )
2824, 27sseq12d 3320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) ) )
292, 21, 15dvhlmod 31225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  U  e.  LMod )
30 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
3130lsssssubg 15961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
33 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
349, 12, 2, 21, 20, 30diclss 31308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  e.  ( LSubSp `  U )
)
3515, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
3632, 35sseldd 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  e.  (SubGrp `  U ) )
37 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  HL )
38 hllat 29478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  Lat )
40 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  X  e.  B )
41 simpl1r 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  H )
421, 2lhpbase 30112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  B )
441, 11latmcl 14407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) W )  e.  B )
4539, 40, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X
( meet `  K ) W )  e.  B
)
461, 9, 11latmle2 14433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) W ) 
.<_  W )
4739, 40, 43, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X
( meet `  K ) W )  .<_  W )
481, 9, 2, 21, 19, 30diblss 31285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X ( meet `  K
) W )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
4915, 45, 47, 48syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
5032, 49sseldd 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  e.  (SubGrp `  U
) )
5122lsmub1 15217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) ) )
5236, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) ) )
53 sstr 3299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )  ->  (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  C_  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y ) )
54 eqidd 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (  _I  |`  T ) `  G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G ) )
552, 3, 4tendoidcl 30883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
5615, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
57 dihord6apre.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
58 dihord6apre.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  q )
59 fvex 5682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  _V
60 fvex 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
613, 60eqeltri 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  e. 
_V
62 resiexg 5128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  _V  ->  (  _I  |`  T )  e. 
_V )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  _I  |`  T )  e.  _V
649, 12, 2, 57, 3, 4, 20, 58, 59, 63dicopelval2 31296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  <->  ( (
(  _I  |`  T ) `
 G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G )  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) ) )
6515, 33, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G )  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) ) )
6654, 56, 65mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  <. ( (  _I  |`  T ) `  G ) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
) )
67 ssel2 3286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  Y )  /\  <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) )  ->  <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )
68 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
691, 9, 2, 3, 5, 68, 19dibopelval2 31260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
7015, 25, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
71 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  _I  |`  T ) `
 G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O )  -> 
(  _I  |`  T )  =  O )
7270, 71syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7367, 72syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  Y )  /\  <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) )  -> 
(  _I  |`  T )  =  O ) )
7466, 73mpan2d 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  C_  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7553, 74syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7652, 75mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) 
C_  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7728, 76sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7877exp44 597 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  (
( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X  ->  (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) ) ) )
7978imp4a 573 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) ) )
8079rexlimdv 2772 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  (
q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  ->  (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
8114, 80mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
828, 81mtod 170 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
8382pm2.21d 100 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  ->  X  .<_  Y ) )
8483imp 419 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   <.cop 3760   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    _I cid 4434    |` cres 4820   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   iota_crio 6478   Basecbs 13396   lecple 13463   occoc 13464   joincjn 14328   meetcmee 14329   Latclat 14401  SubGrpcsubg 14865   LSSumclsm 15195   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LHypclh 30098   LTrncltrn 30215   TEndoctendo 30866   DIsoAcdia 31143   DVecHcdvh 31193   DIsoBcdib 31253   DIsoCcdic 31287   DIsoHcdih 31343
This theorem is referenced by:  dihord6a  31376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-disoa 31144  df-dvech 31194  df-dib 31254  df-dic 31288  df-dih 31344
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