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Theorem dihord6apre 31992
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord6apre.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dihord6apre.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dihord6apre.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dihord6apre.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihord6apre.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
dihord6apre.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
dihord6apre.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dihord6apre.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dihord6apre.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihord6apre.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihord6apre.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihord6apre.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  q )
Assertion
Ref Expression
dihord6apre  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Distinct variable groups:    .<_ , q    A, q    h, q, B    H, q    I, q    h, K, q    O, q    T, h, q    h, W, q    X, q    Y, q
Allowed substitution hints:    A( h)    P( h, q)    .(+) ( h, q)    U( h, q)    E( h, q)    G( h, q)    H( h)    I( h)    .<_ ( h)    O( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem dihord6apre
StepHypRef Expression
1 dihord6apre.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 dihord6apre.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 dihord6apre.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 dihord6apre.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 dihord6apre.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
61, 2, 3, 4, 5tendo1ne0 31563 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
763ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
87neneqd 2615 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  (  _I  |`  T )  =  O )
9 dihord6apre.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
11 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
12 dihord6apre.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 9, 10, 11, 12, 2lhpmcvr2 30759 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
14133adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
15 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )
18 dihord6apre.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
19 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DIsoB `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoB `  K ) `  W )
20 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
DIsoC `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoC `  K ) `  W )
21 dihord6apre.u . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
22 dihord6apre.s . . . . . . . . . . . 12  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
231, 9, 10, 11, 12, 2, 18, 19, 20, 21, 22dihvalcq 31972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) )
2415, 16, 17, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  X )  =  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) )
25 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )
261, 9, 2, 18, 19dihvalb 31973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  (
I `  Y )  =  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )
2715, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( I `  Y )  =  ( ( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y ) )
2824, 27sseq12d 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  <->  ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) ) )
292, 21, 15dvhlmod 31846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  U  e.  LMod )
30 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
3130lsssssubg 16027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( LSubSp `  U )  C_  (SubGrp `  U ) )
33 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
349, 12, 2, 21, 20, 30diclss 31929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  e.  ( LSubSp `  U )
)
3515, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
3632, 35sseldd 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  e.  (SubGrp `  U ) )
37 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  HL )
38 hllat 30099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  Lat )
40 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  X  e.  B )
41 simpl1r 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  H )
421, 2lhpbase 30733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  B )
441, 11latmcl 14473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) W )  e.  B )
4539, 40, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X
( meet `  K ) W )  e.  B
)
461, 9, 11latmle2 14499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K ) W ) 
.<_  W )
4739, 40, 43, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( X
( meet `  K ) W )  .<_  W )
481, 9, 2, 21, 19, 30diblss 31906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X ( meet `  K
) W )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) W )  .<_  W ) )  -> 
( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  e.  ( LSubSp `  U )
)
4915, 45, 47, 48syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  e.  ( LSubSp `  U
) )
5032, 49sseldd 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) )  e.  (SubGrp `  U
) )
5122lsmub1 15283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  e.  (SubGrp `  U )  /\  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) )  e.  (SubGrp `  U )
)  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) ) )
5236, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  C_  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) ) )
53 sstr 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )  ->  (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  C_  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y ) )
54 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (  _I  |`  T ) `  G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G ) )
552, 3, 4tendoidcl 31504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
5615, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
57 dihord6apre.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
58 dihord6apre.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  q )
59 fvex 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  _V
60 fvex 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
613, 60eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  e. 
_V
62 resiexg 5181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  _V  ->  (  _I  |`  T )  e. 
_V )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  _I  |`  T )  e.  _V
649, 12, 2, 57, 3, 4, 20, 58, 59, 63dicopelval2 31917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  <->  ( (
(  _I  |`  T ) `
 G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G )  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) ) )
6515, 33, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  =  ( (  _I  |`  T ) `
 G )  /\  (  _I  |`  T )  e.  E ) ) )
6654, 56, 65mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  <. ( (  _I  |`  T ) `  G ) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
) )
67 ssel2 3336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  Y )  /\  <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) )  ->  <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )
68 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
691, 9, 2, 3, 5, 68, 19dibopelval2 31881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
7015, 25, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  <->  ( ( (  _I  |`  T ) `  G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
71 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  _I  |`  T ) `
 G )  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  Y )  /\  (  _I  |`  T )  =  O )  -> 
(  _I  |`  T )  =  O )
7270, 71syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( <. ( (  _I  |`  T ) `
 G ) ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7367, 72syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  Y )  /\  <. ( (  _I  |`  T ) `  G
) ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q ) )  -> 
(  _I  |`  T )  =  O ) )
7466, 73mpan2d 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  C_  (
( ( DIsoB `  K
) `  W ) `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7553, 74syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  C_  ( ( ( (
DIsoC `  K ) `  W ) `  q
)  .(+)  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  /\  ( ( ( ( DIsoC `  K
) `  W ) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W ) `  ( X ( meet `  K
) W ) ) )  C_  ( (
( DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
) )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7652, 75mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( ( ( DIsoC `  K ) `  W
) `  q )  .(+)  ( ( ( DIsoB `  K ) `  W
) `  ( X
( meet `  K ) W ) ) ) 
C_  ( ( (
DIsoB `  K ) `  W ) `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7728, 76sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W )  /\  ( q (
join `  K )
( X ( meet `  K ) W ) )  =  X ) )  ->  ( (
I `  X )  C_  ( I `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
7877exp44 597 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  (
( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X  ->  (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) ) ) )
7978imp4a 573 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( ( -.  q  .<_  W  /\  ( q ( join `  K ) ( X ( meet `  K
) W ) )  =  X )  -> 
( ( I `  X )  C_  (
I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) ) )
8079rexlimdv 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( E. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  /\  (
q ( join `  K
) ( X (
meet `  K ) W ) )  =  X )  ->  (
( I `  X
)  C_  ( I `  Y )  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) ) )
8114, 80mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  ->  (  _I  |`  T )  =  O ) )
828, 81mtod 170 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  -.  ( I `  X )  C_  (
I `  Y )
)
8382pm2.21d 100 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  ( ( I `
 X )  C_  ( I `  Y
)  ->  X  .<_  Y ) )
8483imp 419 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  (
I `  X )  C_  ( I `  Y
) )  ->  X  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2699   _Vcvv 2949    C_ wss 3313   <.cop 3810   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259    _I cid 4486    |` cres 4873   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   iota_crio 6535   Basecbs 13462   lecple 13529   occoc 13530   joincjn 14394   meetcmee 14395   Latclat 14467  SubGrpcsubg 14931   LSSumclsm 15261   LModclmod 15943   LSubSpclss 16001   Atomscatm 29999   HLchlt 30086   LHypclh 30719   LTrncltrn 30836   TEndoctendo 31487   DIsoAcdia 31764   DVecHcdvh 31814   DIsoBcdib 31874   DIsoCcdic 31908   DIsoHcdih 31964
This theorem is referenced by:  dihord6a  31997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-undef 6536  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-0g 13720  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-lsm 15263  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-oppr 15721  df-dvdsr 15739  df-unit 15740  df-invr 15770  df-dvr 15781  df-drng 15830  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-lvec 16168  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-llines 30233  df-lplanes 30234  df-lvols 30235  df-lines 30236  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723  df-laut 30724  df-ldil 30839  df-ltrn 30840  df-trl 30894  df-tendo 31490  df-edring 31492  df-disoa 31765  df-dvech 31815  df-dib 31875  df-dic 31909  df-dih 31965
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