Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihprrn Structured version   Unicode version

Theorem dihprrn 32322
Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihprrn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihprrn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihprrn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dihprrn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dihprrn.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihprrn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihprrn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dihprrn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dihprrn  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ran  I
)

Proof of Theorem dihprrn
StepHypRef Expression
1 prcom 3906 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
2 preq2 3908 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { Y ,  X }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
31, 2syl5eq 2486 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
43fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } ) )
5 dihprrn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
7 dihprrn.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 dihprrn.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 dihprrn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihprrn.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
118, 9, 10dvhlmod 32006 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 dihprrn.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
135, 6, 7, 11, 12lsppr0 16195 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
144, 13sylan9eqr 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y } ) )
15 dihprrn.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
168, 9, 5, 7, 15dihlsprn 32227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  V
)  ->  ( N `  { Y } )  e.  ran  I )
1710, 12, 16syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  ran  I )
1817adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { Y } )  e.  ran  I )
1914, 18eqeltrd 2516 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ran  I )
20 preq2 3908 . . . . 5  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { X ,  ( 0g `  U ) } )
2120fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } ) )
22 dihprrn.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
235, 6, 7, 11, 22lsppr0 16195 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { X } ) )
2421, 23sylan9eqr 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X } ) )
258, 9, 5, 7, 15dihlsprn 32227 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2610, 22, 25syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2726adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2824, 27eqeltrd 2516 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ran  I )
2910adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3022adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
3112adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
32 simprl 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
33 simprr 735 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U
) )
348, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33dihprrnlem2 32321 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e. 
ran  I )
3519, 28, 34pm2.61da2ne 2689 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ran  I
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   {csn 3838   {cpr 3839   ran crn 4908   ` cfv 5483   Basecbs 13500   0gc0g 13754   LSpanclspn 16078   HLchlt 30246   LHypclh 30879   DVecHcdvh 31974   DIsoHcdih 32124
This theorem is referenced by:  djhlsmat  32323  lclkrlem2v  32424  lcfrlem23  32461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-undef 6572  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-0g 13758  df-poset 14434  df-plt 14446  df-lub 14462  df-glb 14463  df-join 14464  df-meet 14465  df-p0 14499  df-p1 14500  df-lat 14506  df-clat 14568  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-dvr 15819  df-drng 15868  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206  df-lsatoms 29872  df-oposet 30072  df-ol 30074  df-oml 30075  df-covers 30162  df-ats 30163  df-atl 30194  df-cvlat 30218  df-hlat 30247  df-llines 30393  df-lplanes 30394  df-lvols 30395  df-lines 30396  df-psubsp 30398  df-pmap 30399  df-padd 30691  df-lhyp 30883  df-laut 30884  df-ldil 30999  df-ltrn 31000  df-trl 31054  df-tgrp 31638  df-tendo 31650  df-edring 31652  df-dveca 31898  df-disoa 31925  df-dvech 31975  df-dib 32035  df-dic 32069  df-dih 32125  df-doch 32244  df-djh 32291
  Copyright terms: Public domain W3C validator