Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihprrn Unicode version

Theorem dihprrn 31921
Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihprrn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihprrn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihprrn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dihprrn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dihprrn.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihprrn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihprrn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
dihprrn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dihprrn  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ran  I
)

Proof of Theorem dihprrn
StepHypRef Expression
1 prcom 3850 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
2 preq2 3852 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { Y ,  X }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
31, 2syl5eq 2456 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { Y ,  ( 0g `  U ) } )
43fveq2d 5699 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } ) )
5 dihprrn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
7 dihprrn.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 dihprrn.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 dihprrn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 dihprrn.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
118, 9, 10dvhlmod 31605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 dihprrn.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
135, 6, 7, 11, 12lsppr0 16127 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
144, 13sylan9eqr 2466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { Y } ) )
15 dihprrn.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
168, 9, 5, 7, 15dihlsprn 31826 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  Y  e.  V
)  ->  ( N `  { Y } )  e.  ran  I )
1710, 12, 16syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  ran  I )
1817adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { Y } )  e.  ran  I )
1914, 18eqeltrd 2486 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ran  I )
20 preq2 3852 . . . . 5  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  { X ,  Y }  =  { X ,  ( 0g `  U ) } )
2120fveq2d 5699 . . . 4  |-  ( Y  =  ( 0g `  U )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } ) )
22 dihprrn.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
235, 6, 7, 11, 22lsppr0 16127 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( 0g `  U ) } )  =  ( N `  { X } ) )
2421, 23sylan9eqr 2466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  =  ( N `  { X } ) )
258, 9, 5, 7, 15dihlsprn 31826 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2610, 22, 25syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2726adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ran  I )
2824, 27eqeltrd 2486 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( 0g `  U ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ran  I )
2910adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3022adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  e.  V )
3112adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  e.  V )
32 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  X  =/=  ( 0g `  U
) )
33 simprr 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  Y  =/=  ( 0g `  U
) )
348, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33dihprrnlem2 31920 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  =/=  ( 0g `  U
)  /\  Y  =/=  ( 0g `  U ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e. 
ran  I )
3519, 28, 34pm2.61da2ne 2654 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ran  I
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   {csn 3782   {cpr 3783   ran crn 4846   ` cfv 5421   Basecbs 13432   0gc0g 13686   LSpanclspn 16010   HLchlt 29845   LHypclh 30478   DVecHcdvh 31573   DIsoHcdih 31723
This theorem is referenced by:  djhlsmat  31922  lclkrlem2v  32023  lcfrlem23  32060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-undef 6510  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-0g 13690  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-cntz 15079  df-lsm 15233  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-dvr 15751  df-drng 15800  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-lvec 16138  df-lsatoms 29471  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994  df-lines 29995  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653  df-tgrp 31237  df-tendo 31249  df-edring 31251  df-dveca 31497  df-disoa 31524  df-dvech 31574  df-dib 31634  df-dic 31668  df-dih 31724  df-doch 31843  df-djh 31890
  Copyright terms: Public domain W3C validator