Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihsmsprn Unicode version

Theorem dihsmsprn 31547
Description: Subspace sum of a closed subspace and the span of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihsmsprn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dihsmsprn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dihsmsprn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
dihsmsprn.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
dihsmsprn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
dihsmsprn.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
dihsmsprn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
dihsmsprn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
dihsmsprn.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
dihsmsprn  |-  ( ph  ->  ( X  .(+)  ( N `
 { T }
) )  e.  ran  I )

Proof of Theorem dihsmsprn
StepHypRef Expression
1 dihsmsprn.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dihsmsprn.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 dihsmsprn.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 dihsmsprn.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
5 dihsmsprn.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 dihsmsprn.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
7 eqid 2389 . . 3  |-  ( (joinH `  K ) `  W
)  =  ( (joinH `  K ) `  W
)
8 dihsmsprn.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 dihsmsprn.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  I
)
10 dihsmsprn.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dihjat1 31546 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( (joinH `  K ) `  W
) ( N `  { T } ) )  =  ( X  .(+)  ( N `  { T } ) ) )
121, 2, 6, 3dihrnss 31395 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  ran  I )  ->  X  C_  V )
138, 9, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
141, 2, 8dvhlmod 31227 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
1510snssd 3888 . . . 4  |-  ( ph  ->  { T }  C_  V )
163, 5lspssv 15988 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { T }  C_  V )  ->  ( N `  { T } )  C_  V )
1714, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  V
)
181, 6, 2, 3, 7djhcl 31517 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  C_  V  /\  ( N `  { T } )  C_  V ) )  -> 
( X ( (joinH `  K ) `  W
) ( N `  { T } ) )  e.  ran  I )
198, 13, 17, 18syl12anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( (joinH `  K ) `  W
) ( N `  { T } ) )  e.  ran  I )
2011, 19eqeltrrd 2464 1  |-  ( ph  ->  ( X  .(+)  ( N `
 { T }
) )  e.  ran  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   {csn 3759   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   LSSumclsm 15197   LModclmod 15879   LSpanclspn 15976   HLchlt 29467   LHypclh 30100   DVecHcdvh 31195   DIsoHcdih 31345  joinHcdjh 31511
This theorem is referenced by:  dihsmsnrn  31552  lclkrlem2d  31627
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-undef 6481  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-0g 13656  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-subg 14870  df-cntz 15045  df-lsm 15199  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-dvr 15717  df-drng 15766  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lvec 16104  df-lsatoms 29093  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616  df-lines 29617  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-padd 29912  df-lhyp 30104  df-laut 30105  df-ldil 30220  df-ltrn 30221  df-trl 30275  df-tgrp 30859  df-tendo 30871  df-edring 30873  df-dveca 31119  df-disoa 31146  df-dvech 31196  df-dib 31256  df-dic 31290  df-dih 31346  df-doch 31465  df-djh 31512
  Copyright terms: Public domain W3C validator