Theorem dihsumssj 32206

Description: The subspace sum of two isomorphisms of lattice elements is less than the isomorphism of their lattice join. (Contributed by NM, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsumssj.b	|- B = ( Base ` K )
dihsumssj.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihsumssj.j	|- .\/ = ( join ` K )
dihsumssj.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihsumssj.p	|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihsumssj.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihsumssj.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihsumssj.x	|- ( ph -> X e. B )
dihsumssj.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
dihsumssj	|- ( ph -> ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) C_ ( I ` ( X .\/ Y ) ) )

Proof of Theorem dihsumssj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsumssj.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		dihsumssj.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		eqid 2436	. . 3 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
4		dihsumssj.p	. . 3 |- .(+) = ( LSSum ` U )
5		eqid 2436	. . 3 |- ( (joinH ` K ) ` W ) = ( (joinH ` K ) ` W )
6		dihsumssj.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		dihsumssj.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
8		dihsumssj.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
9		dihsumssj.i	. . . . 5 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
10	8, 1, 9, 2, 3	dihss 32049	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B ) -> ( I ` X ) C_ ( Base ` U ) )
11	6, 7, 10	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( I ` X ) C_ ( Base ` U ) )
12		dihsumssj.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
13	8, 1, 9, 2, 3	dihss 32049	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` U ) )
14	6, 12, 13	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( I ` Y ) C_ ( Base ` U ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14	djhsumss 32205	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) C_ ( ( I ` X ) ( (joinH ` K ) ` W ) ( I ` Y ) ) )
16		dihsumssj.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
17	8, 16, 1, 9, 5	djhlj 32199	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) ( (joinH ` K ) ` W ) ( I ` Y ) ) )
18	6, 7, 12, 17	syl12anc 1182	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( I ` X ) ( (joinH ` K ) ` W ) ( I ` Y ) ) )
19	15, 18	sseqtr4d 3385	1 |- ( ph -> ( ( I ` X ) .(+) ( I ` Y ) ) C_ ( I ` ( X .\/ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1652   e. wcel 1725   C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   joincjn 14401   LSSumclsm 15268   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DVecHcdvh 31876   DIsoHcdih 32026  joinHcdjh 32192

This theorem is referenced by:  dihjatb  32214

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027  df-doch 32146  df-djh 32193