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Theorem diophren 26044
Description: Change variables in a Diophantine set, using class notation. This allows already proved Diophantine sets to be reused in contexts with more variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophren  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
Distinct variable groups:    S, a    M, a    N, a    F, a

Proof of Theorem diophren
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10080 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
2 difexg 4199 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( ZZ  \  NN )  e. 
_V )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ZZ 
\  NN )  e. 
_V
4 ominf 7118 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
5 nnuz 10310 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 0p1e1 9884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
76fveq2i 5566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
85, 7eqtr4i 2339 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
98difeq2i 3325 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
\  NN )  =  ( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( 0  +  1 ) ) )
10 0z 10082 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
11 lzenom 25997 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  (
0  +  1 ) ) )  ~~  om )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  (
0  +  1 ) ) )  ~~  om
139, 12eqbrtri 4079 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
\  NN )  ~~  om
14 enfi 7122 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  \  NN ) 
~~  om  ->  ( ( ZZ  \  NN )  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  NN )  e.  Fin  <->  om  e.  Fin )
164, 15mtbir 290 . . . . 5  |-  -.  ( ZZ  \  NN )  e. 
Fin
17 incom 3395 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
18 disjdif 3560 . . . . . 6  |-  ( NN 
i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
1917, 18eqtri 2336 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  NN )  =  (/)
203, 16, 19eldioph4b 26042 . . . 4  |-  ( S  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } ) )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
24 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
2524mapco2 25939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
2621, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
27 uneq1 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
c  u.  d )  =  ( ( a  o.  F )  u.  d ) )
2827fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
b `  ( c  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) ) )
2928eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  (
( b `  (
c  u.  d ) )  =  0  <->  (
b `  ( (
a  o.  F )  u.  d ) )  =  0 ) )
3029rexbidv 2598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( a  o.  F )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( c  u.  d ) )  =  0  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) )  =  0 ) )
3130elrab3 2958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  o.  F )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  o.  F
)  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
( a  o.  F
)  u.  d ) )  =  0 ) )
3226, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( ( a  o.  F )  u.  d ) )  =  0 ) )
3322ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
34 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
35 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )
36 coundi 5211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) )  =  ( ( ( a  u.  d )  o.  F
)  u.  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
37 coundir 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  u.  d )  o.  F )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (
d  o.  F ) )
38 elmapi 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  d :
( ZZ  \  NN )
--> NN0 )
39383ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  d :
( ZZ  \  NN )
--> NN0 )
40 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )
41 incom 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M ) )  =  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
42 fz1ssnn 26040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... M )  C_  NN
43 ssdisj 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1 ... M
)  C_  NN  /\  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )
4442, 18, 43mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
4541, 44eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M ) )  =  (/)
4645a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M
) )  =  (/) )
47 coeq0i 25980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d : ( ZZ 
\  NN ) --> NN0 
/\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M
)  /\  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... M
) )  =  (/) )  ->  ( d  o.  F )  =  (/) )
4839, 40, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( d  o.  F )  =  (/) )
4948uneq2d 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  ( d  o.  F ) )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (/) ) )
5037, 49syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  F )  =  ( ( a  o.  F )  u.  (/) ) )
51 un0 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  o.  F )  u.  (/) )  =  ( a  o.  F )
5250, 51syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  F )  =  ( a  o.  F
) )
53 coundir 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  u.  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
54 elmapi 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  a : ( 1 ... M ) --> NN0 )
55543ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  a :
( 1 ... M
) --> NN0 )
56 f1oi 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) -1-1-onto-> ( ZZ  \  NN )
57 f1of 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN )
-1-1-onto-> ( ZZ  \  NN )  ->  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )
59 coeq0i 25980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )  /\  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
6058, 44, 59mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : ( 1 ... M ) --> NN0  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
6155, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/) )
62 coires1 5227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )
63 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d : ( ZZ  \  NN ) --> NN0  ->  d  Fn  ( ZZ  \  NN ) )
64 fnresdm 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  Fn  ( ZZ  \  NN )  ->  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )  =  d )
6538, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  ( d  |`  ( ZZ  \  NN ) )  =  d )
6662, 65syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  ->  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
67663ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
6861, 67uneq12d 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  u.  ( d  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( (/)  u.  d
) )
6953, 68syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( (/)  u.  d ) )
70 uncom 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  u.  d )  =  ( d  u.  (/) )
71 un0 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  u.  (/) )  =  d
7270, 71eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u.  d )  =  d
7369, 72syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  d )
7452, 73uneq12d 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
( a  u.  d
)  o.  F )  u.  ( ( a  u.  d )  o.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( ( a  o.  F
)  u.  d ) )
7536, 74syl5req 2361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  d )  =  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
7633, 34, 35, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  u.  d )  =  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
7776fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( b `  ( ( a  o.  F )  u.  d
) )  =  ( b `  ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )
78 nn0ssz 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  C_  ZZ
79 mapss 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
801, 78, 79mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( NN0 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )
8144reseq2i 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( a  |`  (/) )
82 res0 4996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  |`  (/) )  =  (/)
8381, 82eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/)
8444reseq2i 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (/) )
85 res0 4996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  |`  (/) )  =  (/)
8684, 85eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  (/)
8783, 86eqtr4i 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )
88 elmapresaun 25998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  /\  (
a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( NN0  ^m  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
89 uncom 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) )  =  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )
9089oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( NN0 
^m  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( NN0  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )
9188, 90syl6eleq 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) )  /\  (
a  |`  ( ( 1 ... M )  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) )  =  ( d  |`  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( NN0  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
9287, 91mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  -> 
( a  u.  d
)  e.  ( NN0 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) ) )
9380, 92sseldi 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  -> 
( a  u.  d
)  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) ) )
9493adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( a  u.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
95 coeq1 4878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  ( a  u.  d )  ->  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  =  ( ( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )
9695fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( a  u.  d )  ->  (
b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )  =  ( b `
 ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
97 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )
98 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b `
 ( ( a  u.  d )  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) )  e.  _V
9996, 97, 98fvmpt 5640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  u.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
10094, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  ( b `  (
( a  u.  d
)  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )
10177, 100eqtr4d 2351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( b `  ( ( a  o.  F )  u.  d
) )  =  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) 
|->  ( b `  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) ) )
102101eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  ( (
b `  ( (
a  o.  F )  u.  d ) )  =  0  <->  ( (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 ) )
103102rexbidva 2594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `
 ( ( a  o.  F )  u.  d ) )  =  0  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) ) `  (
a  u.  d ) )  =  0 ) )
10432, 103bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) )  ->  ( (
a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 ) )
105104rabbidva 2813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 } )
106 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
107 ovex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1083, 107unex 4555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )  e. 
_V
109108a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) )  e.  _V )
110 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) )
111 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )
11258a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
(  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN ) )
113 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  ->  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )
114 incom 3395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )
115 fz1ssnn 26040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
116 ssdisj 3538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... N
)  C_  NN  /\  ( NN  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/) )
117115, 18, 116mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ZZ  \  NN ) )  =  (/)
118114, 117eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( ( ZZ  \  NN )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/) )
120 fun 5443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) : ( ZZ  \  NN ) --> ( ZZ  \  NN )  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  ( ( ZZ  \  NN )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/) )  ->  (
(  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
121112, 113, 119, 120syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
122 uncom 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F )  =  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) )
123122feq1i 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) )  u.  F ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) )  <-> 
( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
124121, 123sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M )  -> 
( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
125111, 124syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )
126 mzprename 25975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) )  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) )  /\  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) : ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) --> ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) )  ->  ( e  e.  ( ZZ  ^m  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... M ) ) ) )
127109, 110, 125, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )
1283, 16, 19eldioph4i 26043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( e  e.  ( ZZ  ^m  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) 
|->  ( b `  (
e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ  \  NN ) ) ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... M ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  M ) )
129106, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  ( ( ZZ 
\  NN )  u.  ( 1 ... M
) ) )  |->  ( b `  ( e  o.  ( F  u.  (  _I  |`  ( ZZ 
\  NN ) ) ) ) ) ) `
 ( a  u.  d ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  M ) )
130105, 129eqeltrd 2390 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  e.  (Dioph `  M ) )
131 eleq2 2377 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  ( ( a  o.  F )  e.  S  <->  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } ) )
132131rabbidv 2814 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } } )
133132eleq1d 2382 . . . . . . 7  |-  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M )  <->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } }  e.  (Dioph `  M ) ) )
134130, 133syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e.  NN0 )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
135134rexlimdva 2701 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  (
1 ... N ) ) ) S  =  {
c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ 
\  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 }  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
136135expimpd 586 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  E. b  e.  (mzPoly `  ( ( ZZ  \  NN )  u.  ( 1 ... N
) ) ) S  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( ZZ  \  NN ) ) ( b `  (
c  u.  d ) )  =  0 } )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
13720, 136syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) )  ->  ( S  e.  (Dioph `  N )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) ) )
138137impcom 419 . 2  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  ( M  e.  NN0  /\  F : ( 1 ... N ) --> ( 1 ... M ) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
1391383impb 1147 1  |-  ( ( S  e.  (Dioph `  N )  /\  M  e.  NN0  /\  F :
( 1 ... N
) --> ( 1 ... M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ( a  o.  F )  e.  S }  e.  (Dioph `  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    u. cun 3184    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    _I cid 4341   omcom 4693    |` cres 4728    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815    ~~ cen 6903   Fincfn 6906   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785   NNcn 9791   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   ...cfz 10829  mzPolycmzp 25948  Diophcdioph 25982
This theorem is referenced by:  rabrenfdioph  26045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-hash 11385  df-mzpcl 25949  df-mzp 25950  df-dioph 25983
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