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Theorem diophrw 26715
Description: Renaming and adding unused witness variables does not change the Diophantine set coded by a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
diophrw  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Distinct variable groups:    S, a,
b, c, d    T, a, b, c, d    M, a, b, c, d    O, a, b, c, d    P, b, c, d
Allowed substitution hint:    P( a)

Proof of Theorem diophrw
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )
2 nn0ex 10191 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
3 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  S  e.  _V )
43adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  S  e.  _V )
5 elmapg 6998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  S )  <-> 
b : S --> NN0 )
)
62, 4, 5sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
b  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  b : S
--> NN0 ) )
71, 6mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b : S --> NN0 )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b : S
--> NN0 )
9 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T -1-1-> S )
10 f1f 5606 . . . . . . . . . 10  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  M : T --> S )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T
--> S )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  M : T
--> S )
13 fco 5567 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : S --> NN0  /\  M : T --> S )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
148, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
15 f1dmex 5938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : T -1-1-> S  /\  S  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
169, 3, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  T  e.  _V )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  T  e.  _V )
18 elmapg 6998 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
( b  o.  M
) : T --> NN0 )
)
192, 17, 18sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 ) )
2014, 19mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T ) )
21 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( b  |`  O ) )
22 resco 5341 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  o.  ( M  |`  O ) )
23 simpll3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
)
2423coeq2d 5002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  o.  (  _I  |`  O ) ) )
25 coires1 5354 . . . . . . . . 9  |-  ( b  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( b  |`  O )
2624, 25syl6eq 2460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  |`  O ) )
2722, 26syl5eq 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  |`  O )
)
2821, 27eqtr4d 2447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
29 simpll1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  S  e.  _V )
30 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( NN0  ^m  a )  =  ( NN0  ^m  S
) )
31 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( ZZ  ^m  a )  =  ( ZZ  ^m  S
) )
3230, 31sseq12d 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  S  ->  (
( NN0  ^m  a
)  C_  ( ZZ  ^m  a )  <->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) ) )
33 zex 10255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  e.  _V
34 nn0ssz 10266 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  ZZ
35 mapss 7023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
) )
3633, 34, 35mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0 
^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
)
3732, 36vtoclg 2979 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
3829, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
39 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S ) )
4038, 39sseldd 3317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( ZZ  ^m  S ) )
41 coeq1 4997 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  b  ->  (
d  o.  M )  =  ( b  o.  M ) )
4241fveq2d 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  b  ->  ( P `  ( d  o.  M ) )  =  ( P `  (
b  o.  M ) ) )
43 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) )  =  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) )
44 fvex 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( b  o.  M ) )  e. 
_V
4542, 43, 44fvmpt 5773 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  S )  ->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  ( P `
 ( b  o.  M ) ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
47 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  0 )
4846, 47eqtr3d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( P `  ( b  o.  M
) )  =  0 )
49 reseq1 5107 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
5049eqeq2d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
a  =  ( c  |`  O )  <->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) ) )
51 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  ( P `  c )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
5251eqeq1d 2420 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( P `  c
)  =  0  <->  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )
5350, 52anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) ) )
5453rspcev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  o.  M
)  e.  ( NN0 
^m  T )  /\  ( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) )
5520, 28, 48, 54syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )
5655ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
5756rexlimdva 2798 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) ) )
58 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )
5916adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  T  e.  _V )
60 elmapg 6998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
c : T --> NN0 )
)
612, 59, 60sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  e.  ( NN0 
^m  T )  <->  c : T
--> NN0 ) )
6258, 61mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> NN0 )
6362adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> NN0 )
649ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  M : T -1-1-> S )
65 f1cnv 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  `' M : ran  M -1-1-onto-> T
)
66 f1of 5641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' M : ran  M -1-1-onto-> T  ->  `' M : ran  M --> T )
6764, 65, 663syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  `' M : ran  M --> T )
68 fco 5567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> NN0 )
6963, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0 )
70 c0ex 9049 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
7170fconst 5596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 }
7271a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M ) --> { 0 } )
73 disjdif 3668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/)
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
75 fun 5574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } ) )
7669, 72, 74, 75syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( NN0  u.  { 0 } ) )
77 frn 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : T --> S  ->  ran  M  C_  S )
789, 10, 773syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ran  M  C_  S )
7978ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ran  M  C_  S
)
80 undif 3676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  C_  S  <->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
8179, 80sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
82 0nn0 10200 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
83 snssi 3910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  { 0 }  C_  NN0 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  C_  NN0
85 ssequn2 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  C_  NN0  <->  ( NN0  u. 
{ 0 } )  =  NN0 )
8684, 85mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
u.  { 0 } )  =  NN0
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( NN0  u.  { 0 } )  = 
NN0 )
8881, 87feq23d 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
8976, 88mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
90 elmapg 6998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
912, 3, 90sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9291ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9389, 92mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S ) )
94 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( c  |`  O )
)
95 resundir 5128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )
96 resco 5341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  |`  O )  =  ( c  o.  ( `' M  |`  O ) )
97 cnvresid 5490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' (  _I  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
98 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  M : T -1-1-> S )
99 df-f1 5426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : T -1-1-> S  <->  ( M : T --> S  /\  Fun  `' M ) )
10099simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  Fun  `' M )
101 funcnvres 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' M  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
10298, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
103 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
104103cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  `' (  _I  |`  O ) )
105 df-ima 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M
" O )  =  ran  ( M  |`  O )
106103rneqd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  ran  (  _I  |`  O ) )
107 rnresi 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (  _I  |`  O )  =  O
108106, 107syl6eq 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  O )
109105, 108syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M " O )  =  O )
110109reseq2d 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  ( M
" O ) )  =  ( `' M  |`  O ) )
111102, 104, 1103eqtr3d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' (  _I  |`  O )  =  ( `' M  |`  O ) )
11297, 111syl5reqr 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
113112coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  o.  (  _I  |`  O ) ) )
114 coires1 5354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( c  |`  O )
115113, 114syl6eq 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  |`  O ) )
11696, 115syl5eq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( c  o.  `' M )  |`  O )  =  ( c  |`  O ) )
117 dmres 5134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  ( O  i^i  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )
11870snnz 3890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { 0 }  =/=  (/)
119 dmxp 5055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 0 }  =/=  (/)  ->  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  =  ( S  \  ran  M ) )
120118, 119ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  =  ( S  \  ran  M
)
121120ineq2i 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  ( O  i^i  ( S 
\  ran  M )
)
122 inss1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( O  i^i  S )  C_  O
123106, 107syl6req 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  =  ran  ( M  |`  O ) )
124 resss 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  |`  O )  C_  M
125 rnss 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  |`  O )  C_  M  ->  ran  ( M  |`  O )  C_  ran  M )
126124, 125mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O ) 
C_  ran  M )
127123, 126eqsstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  C_ 
ran  M )
128122, 127syl5ss 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  S )  C_  ran  M )
129 inssdif0 3663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( O  i^i  S ) 
C_  ran  M  <->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
130128, 129sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
131121, 130syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  (/) )
132117, 131syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
133 relres 5141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )
134 reldm0 5054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  ->  (
( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) ) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
136132, 135sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/) )
137116, 136uneq12d 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
13895, 137syl5eq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
139 un0 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  |`  O )  u.  (/) )  =  ( c  |`  O )
140138, 139syl6req 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
)
141140adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
14294, 141eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
143 fss 5566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  c : T --> ZZ )
14462, 34, 143sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> ZZ )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> ZZ )
146 fco 5567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c : T --> ZZ  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> ZZ )
147145, 67, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ )
148 fun 5574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
149147, 72, 74, 148syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
150 0z 10257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
151 snssi 3910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 }  C_  ZZ )
152150, 151ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  C_  ZZ
153 ssequn2 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  C_  ZZ  <->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
154152, 153mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ
155154a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
15681, 155feq23d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
157149, 156mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ )
158 elmapg 6998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
15933, 3, 158sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
160159ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
161157, 160mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S ) )
162 coeq1 4997 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( d  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )
163162fveq2d 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( P `  ( d  o.  M
) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
164 fvex 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  e. 
_V
165163, 43, 164fvmpt 5773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
166161, 165syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
167 coundir 5339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  o.  M
)  u.  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
) )
168 coass 5355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  =  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )
169 f1cocnv1 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( `' M  o.  M )  =  (  _I  |`  T )
)
170169coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( c  o.  ( `' M  o.  M
) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
17164, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
172168, 171syl5eq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  o.  M )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
173120ineq1i 3506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  ( ( S  \  ran  M )  i^i  ran  M )
174 incom 3501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  ran  M
)  i^i  ran  M )  =  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )
175173, 174, 733eqtri 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/)
176 coeq0 26708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  o.  M )  =  (/)  <->  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/) )
177175, 176mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/)
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/) )
179172, 178uneq12d 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) ) )
180 un0 3620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  (
c  o.  (  _I  |`  T ) )
181 fcoi1 5584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c : T --> NN0  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
18263, 181syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
183180, 182syl5eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  c )
184179, 183eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  c )
185167, 184syl5eq 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  c )
186185fveq2d 5699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  =  ( P `
 c ) )
187 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  c )  =  0 )
188166, 186, 1873eqtrd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 )
189 reseq1 5107 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( b  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
190189eqeq2d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( a  =  ( b  |`  O )  <->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
) )
191 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) ) )
192191eqeq1d 2420 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0  <->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )
193190, 192anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) ) )
194193rspcev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  /\  ( a  =  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
19593, 142, 188, 194syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
196195ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) ) )
197196rexlimdva 2798 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) ) )
19857, 197impbid 184 . 2  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
199198abbidv 2526 1  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2398    =/= wne 2575   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782    e. cmpt 4234    _I cid 4461    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848    o. ccom 4849   Rel wrel 4850   Fun wfun 5415   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   0cc0 8954   NN0cn0 10185   ZZcz 10246
This theorem is referenced by:  eldioph2  26718  eldioph2b  26719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247
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