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Theorem diophrw 26855
Description: Renaming and adding unused witness variables does not change the Diophantine set coded by a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
diophrw  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Distinct variable groups:    S, a,
b, c, d    T, a, b, c, d    M, a, b, c, d    O, a, b, c, d    P, b, c, d
Allowed substitution hint:    P( a)

Proof of Theorem diophrw
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )
2 nn0ex 10258 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
3 simp1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  S  e.  _V )
43adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  S  e.  _V )
5 elmapg 7060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  S )  <-> 
b : S --> NN0 )
)
62, 4, 5sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
b  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  b : S
--> NN0 ) )
71, 6mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b : S --> NN0 )
87adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b : S
--> NN0 )
9 simp2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T -1-1-> S )
10 f1f 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  M : T --> S )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T
--> S )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  M : T
--> S )
13 fco 5629 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : S --> NN0  /\  M : T --> S )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
148, 12, 13syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
15 f1dmex 6000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : T -1-1-> S  /\  S  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
169, 3, 15syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  T  e.  _V )
1716ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  T  e.  _V )
18 elmapg 7060 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
( b  o.  M
) : T --> NN0 )
)
192, 17, 18sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 ) )
2014, 19mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T ) )
21 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( b  |`  O ) )
22 resco 5403 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  o.  ( M  |`  O ) )
23 simpll3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
)
2423coeq2d 5064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  o.  (  _I  |`  O ) ) )
25 coires1 5416 . . . . . . . . 9  |-  ( b  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( b  |`  O )
2624, 25syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  |`  O ) )
2722, 26syl5eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  |`  O )
)
2821, 27eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
29 simpll1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  S  e.  _V )
30 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( NN0  ^m  a )  =  ( NN0  ^m  S
) )
31 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( ZZ  ^m  a )  =  ( ZZ  ^m  S
) )
3230, 31sseq12d 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  S  ->  (
( NN0  ^m  a
)  C_  ( ZZ  ^m  a )  <->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) ) )
33 zex 10322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  e.  _V
34 nn0ssz 10333 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  ZZ
35 mapss 7085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
) )
3633, 34, 35mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0 
^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
)
3732, 36vtoclg 3017 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
3829, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
39 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S ) )
4038, 39sseldd 3335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( ZZ  ^m  S ) )
41 coeq1 5059 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  b  ->  (
d  o.  M )  =  ( b  o.  M ) )
4241fveq2d 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  b  ->  ( P `  ( d  o.  M ) )  =  ( P `  (
b  o.  M ) ) )
43 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) )  =  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) )
44 fvex 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( b  o.  M ) )  e. 
_V
4542, 43, 44fvmpt 5835 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  S )  ->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  ( P `
 ( b  o.  M ) ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
47 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  0 )
4846, 47eqtr3d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( P `  ( b  o.  M
) )  =  0 )
49 reseq1 5169 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
5049eqeq2d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
a  =  ( c  |`  O )  <->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) ) )
51 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  ( P `  c )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
5251eqeq1d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( P `  c
)  =  0  <->  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )
5350, 52anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) ) )
5453rspcev 3058 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  o.  M
)  e.  ( NN0 
^m  T )  /\  ( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) )
5520, 28, 48, 54syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )
5655ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
5756rexlimdva 2836 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) ) )
58 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )
5916adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  T  e.  _V )
60 elmapg 7060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
c : T --> NN0 )
)
612, 59, 60sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  e.  ( NN0 
^m  T )  <->  c : T
--> NN0 ) )
6258, 61mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> NN0 )
6362adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> NN0 )
649ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  M : T -1-1-> S )
65 f1cnv 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  `' M : ran  M -1-1-onto-> T
)
66 f1of 5703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' M : ran  M -1-1-onto-> T  ->  `' M : ran  M --> T )
6764, 65, 663syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  `' M : ran  M --> T )
68 fco 5629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> NN0 )
6963, 67, 68syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0 )
70 c0ex 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
7170fconst 5658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 }
7271a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M ) --> { 0 } )
73 disjdif 3724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/)
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
75 fun 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } ) )
7669, 72, 74, 75syl21anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( NN0  u.  { 0 } ) )
77 frn 5626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : T --> S  ->  ran  M  C_  S )
789, 10, 773syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ran  M  C_  S )
7978ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ran  M  C_  S
)
80 undif 3732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  C_  S  <->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
8179, 80sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
82 0nn0 10267 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
83 snssi 3966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  { 0 }  C_  NN0 )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  C_  NN0
85 ssequn2 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  C_  NN0  <->  ( NN0  u. 
{ 0 } )  =  NN0 )
8684, 85mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
u.  { 0 } )  =  NN0
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( NN0  u.  { 0 } )  = 
NN0 )
8881, 87feq23d 5617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
8976, 88mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
90 elmapg 7060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
912, 3, 90sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9291ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9389, 92mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S ) )
94 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( c  |`  O )
)
95 resundir 5190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )
96 resco 5403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  |`  O )  =  ( c  o.  ( `' M  |`  O ) )
97 cnvresid 5552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' (  _I  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
98 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  M : T -1-1-> S )
99 df-f1 5488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : T -1-1-> S  <->  ( M : T --> S  /\  Fun  `' M ) )
10099simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  Fun  `' M )
101 funcnvres 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' M  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
10298, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
103 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
104103cnveqd 5077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  `' (  _I  |`  O ) )
105 df-ima 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M
" O )  =  ran  ( M  |`  O )
106103rneqd 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  ran  (  _I  |`  O ) )
107 rnresi 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (  _I  |`  O )  =  O
108106, 107syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  O )
109105, 108syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M " O )  =  O )
110109reseq2d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  ( M
" O ) )  =  ( `' M  |`  O ) )
111102, 104, 1103eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' (  _I  |`  O )  =  ( `' M  |`  O ) )
11297, 111syl5reqr 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
113112coeq2d 5064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  o.  (  _I  |`  O ) ) )
114 coires1 5416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( c  |`  O )
115113, 114syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  |`  O ) )
11696, 115syl5eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( c  o.  `' M )  |`  O )  =  ( c  |`  O ) )
117 dmres 5196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  ( O  i^i  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )
11870snnz 3946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { 0 }  =/=  (/)
119 dmxp 5117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 0 }  =/=  (/)  ->  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  =  ( S  \  ran  M ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  =  ( S  \  ran  M
)
121120ineq2i 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  ( O  i^i  ( S 
\  ran  M )
)
122 inss1 3546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( O  i^i  S )  C_  O
123106, 107syl6req 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  =  ran  ( M  |`  O ) )
124 resss 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  |`  O )  C_  M
125 rnss 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  |`  O )  C_  M  ->  ran  ( M  |`  O )  C_  ran  M )
126124, 125mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O ) 
C_  ran  M )
127123, 126eqsstrd 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  C_ 
ran  M )
128122, 127syl5ss 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  S )  C_  ran  M )
129 inssdif0 3719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( O  i^i  S ) 
C_  ran  M  <->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
130128, 129sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
131121, 130syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  (/) )
132117, 131syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
133 relres 5203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )
134 reldm0 5116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  ->  (
( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) ) )
135133, 134ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
136132, 135sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/) )
137116, 136uneq12d 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
13895, 137syl5eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
139 un0 3637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  |`  O )  u.  (/) )  =  ( c  |`  O )
140138, 139syl6req 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
)
141140adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
14294, 141eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
143 fss 5628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  c : T --> ZZ )
14462, 34, 143sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> ZZ )
145144adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> ZZ )
146 fco 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c : T --> ZZ  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> ZZ )
147145, 67, 146syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ )
148 fun 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
149147, 72, 74, 148syl21anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
150 0z 10324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
151 snssi 3966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 }  C_  ZZ )
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  C_  ZZ
153 ssequn2 3506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  C_  ZZ  <->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
154152, 153mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ
155154a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
15681, 155feq23d 5617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
157149, 156mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ )
158 elmapg 7060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
15933, 3, 158sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
160159ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
161157, 160mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S ) )
162 coeq1 5059 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( d  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )
163162fveq2d 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( P `  ( d  o.  M
) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
164 fvex 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  e. 
_V
165163, 43, 164fvmpt 5835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
166161, 165syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
167 coundir 5401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  o.  M
)  u.  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
) )
168 coass 5417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  =  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )
169 f1cocnv1 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( `' M  o.  M )  =  (  _I  |`  T )
)
170169coeq2d 5064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( c  o.  ( `' M  o.  M
) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
17164, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
172168, 171syl5eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  o.  M )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
173120ineq1i 3524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  ( ( S  \  ran  M )  i^i  ran  M )
174 incom 3519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  ran  M
)  i^i  ran  M )  =  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )
175173, 174, 733eqtri 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/)
176 coeq0 26848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  o.  M )  =  (/)  <->  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/) )
177175, 176mpbir 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/)
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/) )
179172, 178uneq12d 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) ) )
180 un0 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  (
c  o.  (  _I  |`  T ) )
181 fcoi1 5646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c : T --> NN0  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
18263, 181syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
183180, 182syl5eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  c )
184179, 183eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  c )
185167, 184syl5eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  c )
186185fveq2d 5761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  =  ( P `
 c ) )
187 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  c )  =  0 )
188166, 186, 1873eqtrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 )
189 reseq1 5169 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( b  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
190189eqeq2d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( a  =  ( b  |`  O )  <->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
) )
191 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) ) )
192191eqeq1d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0  <->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )
193190, 192anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) ) )
194193rspcev 3058 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  /\  ( a  =  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
19593, 142, 188, 194syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
196195ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) ) )
197196rexlimdva 2836 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) ) )
19857, 197impbid 185 . 2  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
199198abbidv 2556 1  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428    =/= wne 2605   E.wrex 2712   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    u. cun 3304    i^i cin 3305    C_ wss 3306   (/)c0 3613   {csn 3838    e. cmpt 4291    _I cid 4522    X. cxp 4905   `'ccnv 4906   dom cdm 4907   ran crn 4908    |` cres 4909   "cima 4910    o. ccom 4911   Rel wrel 4912   Fun wfun 5477   -->wf 5479   -1-1->wf1 5480   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    ^m cmap 7047   0cc0 9021   NN0cn0 10252   ZZcz 10313
This theorem is referenced by:  eldioph2  26858  eldioph2b  26859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314
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