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Theorem diophrw 26429
Description: Renaming and adding unused witness variables does not change the Diophantine set coded by a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
diophrw  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Distinct variable groups:    S, a,
b, c, d    T, a, b, c, d    M, a, b, c, d    O, a, b, c, d    P, b, c, d
Allowed substitution hint:    P( a)

Proof of Theorem diophrw
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )
2 nn0ex 10120 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
3 simp1 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  S  e.  _V )
43adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  S  e.  _V )
5 elmapg 6928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  S )  <-> 
b : S --> NN0 )
)
62, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
b  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  b : S
--> NN0 ) )
71, 6mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  b : S --> NN0 )
87adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b : S
--> NN0 )
9 simp2 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T -1-1-> S )
10 f1f 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  M : T --> S )
119, 10syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  M : T
--> S )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  M : T
--> S )
13 fco 5504 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : S --> NN0  /\  M : T --> S )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
148, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 )
15 f1dmex 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M : T -1-1-> S  /\  S  e.  _V )  ->  T  e.  _V )
169, 3, 15syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  T  e.  _V )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  T  e.  _V )
18 elmapg 6928 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
( b  o.  M
) : T --> NN0 )
)
192, 17, 18sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T )  <->  ( b  o.  M ) : T --> NN0 ) )
2014, 19mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  M )  e.  ( NN0  ^m  T ) )
21 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( b  |`  O ) )
22 resco 5280 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  o.  ( M  |`  O ) )
23 simpll3 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
)
2423coeq2d 4949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  o.  (  _I  |`  O ) ) )
25 coires1 5293 . . . . . . . . 9  |-  ( b  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( b  |`  O )
2624, 25syl6eq 2414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( b  o.  ( M  |`  O ) )  =  ( b  |`  O ) )
2722, 26syl5eq 2410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
b  o.  M )  |`  O )  =  ( b  |`  O )
)
2821, 27eqtr4d 2401 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
29 simpll1 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  S  e.  _V )
30 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( NN0  ^m  a )  =  ( NN0  ^m  S
) )
31 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  S  ->  ( ZZ  ^m  a )  =  ( ZZ  ^m  S
) )
3230, 31sseq12d 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  S  ->  (
( NN0  ^m  a
)  C_  ( ZZ  ^m  a )  <->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) ) )
33 zex 10184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  e.  _V
34 nn0ssz 10195 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  ZZ
35 mapss 6953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
) )
3633, 34, 35mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0 
^m  a )  C_  ( ZZ  ^m  a
)
3732, 36vtoclg 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
3829, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( NN0  ^m  S )  C_  ( ZZ  ^m  S ) )
39 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( NN0  ^m  S ) )
4038, 39sseldd 3267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  b  e.  ( ZZ  ^m  S ) )
41 coeq1 4944 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  b  ->  (
d  o.  M )  =  ( b  o.  M ) )
4241fveq2d 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  b  ->  ( P `  ( d  o.  M ) )  =  ( P `  (
b  o.  M ) ) )
43 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) )  =  ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) )
44 fvex 5646 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( b  o.  M ) )  e. 
_V
4542, 43, 44fvmpt 5709 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( ZZ  ^m  S )  ->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  ( P `
 ( b  o.  M ) ) )
4640, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
47 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  0 )
4846, 47eqtr3d 2400 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  ( P `  ( b  o.  M
) )  =  0 )
49 reseq1 5052 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) )
5049eqeq2d 2377 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
a  =  ( c  |`  O )  <->  a  =  ( ( b  o.  M )  |`  O ) ) )
51 fveq2 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  ( P `  c )  =  ( P `  ( b  o.  M
) ) )
5251eqeq1d 2374 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( P `  c
)  =  0  <->  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )
5350, 52anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( b  o.  M )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) ) )
5453rspcev 2969 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  o.  M
)  e.  ( NN0 
^m  T )  /\  ( a  =  ( ( b  o.  M
)  |`  O )  /\  ( P `  ( b  o.  M ) )  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) )
5520, 28, 48, 54syl12anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  /\  (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )
5655ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  b  e.  ( NN0  ^m  S
) )  ->  (
( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
5756rexlimdva 2752 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  ->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 ) ) )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )
5916adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  T  e.  _V )
60 elmapg 6928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  T )  <-> 
c : T --> NN0 )
)
612, 59, 60sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  e.  ( NN0 
^m  T )  <->  c : T
--> NN0 ) )
6258, 61mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> NN0 )
6362adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> NN0 )
649ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  M : T -1-1-> S )
65 f1cnv 5603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  `' M : ran  M -1-1-onto-> T
)
66 f1of 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' M : ran  M -1-1-onto-> T  ->  `' M : ran  M --> T )
6764, 65, 663syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  `' M : ran  M --> T )
68 fco 5504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> NN0 )
6963, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0 )
70 c0ex 8979 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
7170fconst 5533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 }
7271a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M ) --> { 0 } )
73 disjdif 3615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/)
7473a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
75 fun 5511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> NN0  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } ) )
7669, 72, 74, 75syl21anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( NN0  u.  { 0 } ) )
77 frn 5501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : T --> S  ->  ran  M  C_  S )
789, 10, 773syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ran  M  C_  S )
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ran  M  C_  S
)
80 undif 3623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
M  C_  S  <->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
8179, 80sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M ) )  =  S )
82 0nn0 10129 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
83 snssi 3857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  NN0  ->  { 0 }  C_  NN0 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  C_  NN0
85 ssequn2 3436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  C_  NN0  <->  ( NN0  u. 
{ 0 } )  =  NN0 )
8684, 85mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
u.  { 0 } )  =  NN0
8786a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( NN0  u.  { 0 } )  = 
NN0 )
8881, 87feq23d 5492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( NN0 
u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
8976, 88mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
90 elmapg 6928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 ) )
912, 3, 90sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9291ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> NN0 )
)
9389, 92mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0 
^m  S ) )
94 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( c  |`  O )
)
95 resundir 5073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )
96 resco 5280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  |`  O )  =  ( c  o.  ( `' M  |`  O ) )
97 cnvresid 5427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' (  _I  |`  O )  =  (  _I  |`  O )
98 simpl2 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  M : T -1-1-> S )
99 df-f1 5363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M : T -1-1-> S  <->  ( M : T --> S  /\  Fun  `' M ) )
10099simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M : T -1-1-> S  ->  Fun  `' M )
101 funcnvres 5426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' M  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
10298, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  ( `' M  |`  ( M " O
) ) )
103 simpl3 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
104103cnveqd 4960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' ( M  |`  O )  =  `' (  _I  |`  O ) )
105 df-ima 4805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M
" O )  =  ran  ( M  |`  O )
106103rneqd 5009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  ran  (  _I  |`  O ) )
107 rnresi 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (  _I  |`  O )  =  O
108106, 107syl6eq 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O )  =  O )
109105, 108syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( M " O )  =  O )
110109reseq2d 5058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  ( M
" O ) )  =  ( `' M  |`  O ) )
111102, 104, 1103eqtr3d 2406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  `' (  _I  |`  O )  =  ( `' M  |`  O ) )
11297, 111syl5reqr 2413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( `' M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )
113112coeq2d 4949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  o.  (  _I  |`  O ) ) )
114 coires1 5293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  o.  (  _I  |`  O ) )  =  ( c  |`  O )
115113, 114syl6eq 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  o.  ( `' M  |`  O )
)  =  ( c  |`  O ) )
11696, 115syl5eq 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( c  o.  `' M )  |`  O )  =  ( c  |`  O ) )
117 dmres 5079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  ( O  i^i  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )
11870snnz 3837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { 0 }  =/=  (/)
119 dmxp 5000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 0 }  =/=  (/)  ->  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  =  ( S  \  ran  M ) )
120118, 119ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  =  ( S  \  ran  M
)
121120ineq2i 3455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  ( O  i^i  ( S 
\  ran  M )
)
122 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( O  i^i  S )  C_  O
123106, 107syl6req 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  =  ran  ( M  |`  O ) )
124 resss 5082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  |`  O )  C_  M
125 rnss 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  |`  O )  C_  M  ->  ran  ( M  |`  O )  C_  ran  M )
126124, 125mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ran  ( M  |`  O ) 
C_  ran  M )
127123, 126eqsstrd 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  O  C_ 
ran  M )
128122, 127syl5ss 3276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  S )  C_  ran  M )
129 inssdif0 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( O  i^i  S ) 
C_  ran  M  <->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
130128, 129sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )
131121, 130syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  ( O  i^i  dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  =  (/) )
132117, 131syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
133 relres 5086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )
134 reldm0 4999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  ->  (
( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) ) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/)  <->  dom  ( ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } )  |`  O )  =  (/) )
136132, 135sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  |`  O )  =  (/) )
137116, 136uneq12d 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  |`  O )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  |`  O ) )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
13895, 137syl5eq 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  =  ( ( c  |`  O )  u.  (/) ) )
139 un0 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  |`  O )  u.  (/) )  =  ( c  |`  O )
140138, 139syl6req 2415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
)
141140adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
14294, 141eqtrd 2398 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
143 fss 5503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c : T --> NN0  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  c : T --> ZZ )
14462, 34, 143sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  c : T --> ZZ )
145144adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  c : T --> ZZ )
146 fco 5504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c : T --> ZZ  /\  `' M : ran  M --> T )  ->  (
c  o.  `' M
) : ran  M --> ZZ )
147145, 67, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ )
148 fun 5511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M ) : ran  M --> ZZ  /\  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) : ( S  \  ran  M
) --> { 0 } )  /\  ( ran 
M  i^i  ( S  \  ran  M ) )  =  (/) )  ->  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
149147, 72, 74, 148syl21anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : ( ran 
M  u.  ( S 
\  ran  M )
) --> ( ZZ  u.  { 0 } ) )
150 0z 10186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
151 snssi 3857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  { 0 }  C_  ZZ )
152150, 151ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  C_  ZZ
153 ssequn2 3436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  C_  ZZ  <->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
154152, 153mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ
155154a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ZZ  u.  { 0 } )  =  ZZ )
15681, 155feq23d 5492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : ( ran  M  u.  ( S  \  ran  M
) ) --> ( ZZ  u.  { 0 } )  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
157149, 156mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ )
158 elmapg 6928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S )  <->  ( (
c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
15933, 3, 158sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
160159ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  <->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) : S --> ZZ ) )
161157, 160mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ 
^m  S ) )
162 coeq1 4944 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( d  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )
163162fveq2d 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( P `  ( d  o.  M
) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
164 fvex 5646 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  e. 
_V
165163, 43, 164fvmpt 5709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( ZZ  ^m  S
)  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
166161, 165syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) ) )
167 coundir 5278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  o.  M
)  u.  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
) )
168 coass 5294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  =  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )
169 f1cocnv1 5609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( `' M  o.  M )  =  (  _I  |`  T )
)
170169coeq2d 4949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : T -1-1-> S  -> 
( c  o.  ( `' M  o.  M
) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
17164, 170syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  ( `' M  o.  M ) )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
172168, 171syl5eq 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  `' M )  o.  M )  =  ( c  o.  (  _I  |`  T ) ) )
173120ineq1i 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  ( ( S  \  ran  M )  i^i  ran  M )
174 incom 3449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  ran  M
)  i^i  ran  M )  =  ( ran  M  i^i  ( S  \  ran  M ) )
175173, 174, 733eqtri 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/)
176 coeq0 26422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  o.  M )  =  (/)  <->  ( dom  ( ( S  \  ran  M )  X.  {
0 } )  i^i 
ran  M )  =  (/) )
177175, 176mpbir 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  \  ran  M )  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/)
178177a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
)  =  (/) )
179172, 178uneq12d 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) ) )
180 un0 3567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  (
c  o.  (  _I  |`  T ) )
181 fcoi1 5521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c : T --> NN0  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
18263, 181syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  =  c )
183180, 182syl5eq 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( c  o.  (  _I  |`  T ) )  u.  (/) )  =  c )
184179, 183eqtrd 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  o.  M )  u.  ( ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } )  o.  M
) )  =  c )
185167, 184syl5eq 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  o.  M )  =  c )
186185fveq2d 5636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  o.  M ) )  =  ( P `
 c ) )
187 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( P `  c )  =  0 )
188166, 186, 1873eqtrd 2402 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 )
189 reseq1 5052 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( b  |`  O )  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O ) )
190189eqeq2d 2377 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( a  =  ( b  |`  O )  <->  a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )
) )
191 fveq2 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
d  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( P `  ( d  o.  M ) ) ) `  b )  =  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( P `
 ( d  o.  M ) ) ) `
 ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) ) ) )
192191eqeq1d 2374 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0  <->  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )
193190, 192anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( c  o.  `' M )  u.  ( ( S 
\  ran  M )  X.  { 0 } ) )  ->  ( (
a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <-> 
( a  =  ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) ) )
194193rspcev 2969 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) )  e.  ( NN0  ^m  S
)  /\  ( a  =  ( ( ( c  o.  `' M
)  u.  ( ( S  \  ran  M
)  X.  { 0 } ) )  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  (
( c  o.  `' M )  u.  (
( S  \  ran  M )  X.  { 0 } ) ) )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
19593, 142, 188, 194syl12anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
_V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  /\  (
a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) )
196195ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  /\  c  e.  ( NN0  ^m  T
) )  ->  (
( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c
)  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) ) )
197196rexlimdva 2752 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 ) ) )
19857, 197impbid 183 . 2  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  (
( d  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( P `  (
d  o.  M ) ) ) `  b
)  =  0 )  <->  E. c  e.  ( NN0  ^m  T ) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) ) )
199198abbidv 2480 1  |-  ( ( S  e.  _V  /\  M : T -1-1-> S  /\  ( M  |`  O )  =  (  _I  |`  O ) )  ->  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  S ) ( a  =  ( b  |`  O )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( P `  ( d  o.  M
) ) ) `  b )  =  0 ) }  =  {
a  |  E. c  e.  ( NN0  ^m  T
) ( a  =  ( c  |`  O )  /\  ( P `  c )  =  0 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   {cab 2352    =/= wne 2529   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   {csn 3729    e. cmpt 4179    _I cid 4407    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   dom cdm 4792   ran crn 4793    |` cres 4794   "cima 4795    o. ccom 4796   Rel wrel 4797   Fun wfun 5352   -->wf 5354   -1-1->wf1 5355   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   0cc0 8884   NN0cn0 10114   ZZcz 10175
This theorem is referenced by:  eldioph2  26432  eldioph2b  26433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176
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