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Theorem diophun 26444
Description: If two sets are Diophantine, so is their union. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophun  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )

Proof of Theorem diophun
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26434 . . 3  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 9899 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
32jctr 526 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V ) )
4 1z 10204 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5 nnuz 10414 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uzinf 11192 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
74, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -.  NN  e.  Fin
8 elfznn 10972 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... N )  ->  a  e.  NN )
98ssriv 3270 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
107, 9pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )
11 eldioph2b 26433 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) } ) )
12 eldioph2b 26433 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( B  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } ) )
1311, 12anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  (
( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
143, 10, 13sylancl 643 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
15 reeanv 2792 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
16 unab 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  u.  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }
17 r19.43 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. d  e.  ( NN0 
^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
18 andi 837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) )  <->  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
19 zex 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ZZ  e.  _V
20 nn0ssz 10195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  C_  ZZ
21 mapss 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN ) )
2219, 20, 21mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN0 
^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN )
2322sseli 3262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
25 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
a `  e )  =  ( a `  d ) )
26 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
c `  e )  =  ( c `  d ) )
2725, 26oveq12d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  d  ->  (
( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
28 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) )
29 ovex 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  NN )  ->  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) ) `  d )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
3124, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) ) )
3231eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) ) `  d )  =  0  <-> 
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0 ) )
33 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
34 mzpf 26405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
36 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a : ( ZZ 
^m  NN ) --> ZZ 
/\  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )  ->  ( a `  d )  e.  ZZ )
3735, 24, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  ZZ )
3837zcnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  CC )
39 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
40 mzpf 26405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  (mzPoly `  NN )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
42 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c : ( ZZ 
^m  NN ) --> ZZ 
/\  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )  ->  ( c `  d )  e.  ZZ )
4341, 24, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  ZZ )
4443zcnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  CC )
4538, 44mul0ord 9565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0  <->  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) ) )
4632, 45bitr2d 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  =  0  \/  ( c `  d )  =  0 )  <->  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) )
4746anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( a `
 d )  =  0  \/  ( c `
 d )  =  0 ) )  <->  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
4818, 47syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
4948rexbidva 2645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
5017, 49syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
5150abbidv 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
5216, 51syl5eq 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
53 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  N  e.  NN0 )
542, 9pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN )
5554a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN ) )
56 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
5756, 34syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
5857feqmptd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( a `  e ) ) )
5958, 56eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( a `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
6160, 40syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
6261feqmptd 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( c `  e ) ) )
6362, 60eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
64 mzpmulmpt 26411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( a `  e
) )  e.  (mzPoly `  NN )  /\  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
6559, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
66 eldioph2 26432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( NN  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )  /\  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6753, 55, 65, 66syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6852, 67eqeltrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
)
69 uneq12 3412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  =  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
7069eleq1d 2432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N )  <->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
) )
7168, 70syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7271rexlimdvva 2759 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7315, 72syl5bir 209 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  -> 
( A  u.  B
)  e.  (Dioph `  N ) ) )
7414, 73sylbid 206 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
751, 74syl 15 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N
)  /\  B  e.  (Dioph `  N ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7675anabsi5 790 1  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   {cab 2352   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    u. cun 3236    C_ wss 3238    e. cmpt 4179    |` cres 4794   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   Fincfn 7006   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889   NNcn 9893   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ...cfz 10935  mzPolycmzp 26391  Diophcdioph 26425
This theorem is referenced by:  orrabdioph  26452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-hash 11506  df-mzpcl 26392  df-mzp 26393  df-dioph 26426
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