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Theorem diophun 26846
Description: If two sets are Diophantine, so is their union. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophun  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )

Proof of Theorem diophun
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26836 . . 3  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 10011 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
32jctr 528 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V ) )
4 1z 10316 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5 nnuz 10526 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uzinf 11310 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
74, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  -.  NN  e.  Fin
8 elfznn 11085 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... N )  ->  a  e.  NN )
98ssriv 3354 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
107, 9pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )
11 eldioph2b 26835 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) } ) )
12 eldioph2b 26835 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( B  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } ) )
1311, 12anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  (
( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
143, 10, 13sylancl 645 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
15 reeanv 2877 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
16 unab 3610 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  u.  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }
17 r19.43 2865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. d  e.  ( NN0 
^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
18 andi 839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) )  <->  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
19 zex 10296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ZZ  e.  _V
20 nn0ssz 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  C_  ZZ
21 mapss 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN ) )
2219, 20, 21mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN0 
^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN )
2322sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
2423adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
25 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
a `  e )  =  ( a `  d ) )
26 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
c `  e )  =  ( c `  d ) )
2725, 26oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  d  ->  (
( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
28 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) )
29 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  NN )  ->  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) ) `  d )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) ) )
3231eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) ) `  d )  =  0  <-> 
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0 ) )
33 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
34 mzpf 26807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
3635, 24ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  ZZ )
3736zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  CC )
38 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
39 mzpf 26807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  (mzPoly `  NN )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
4140, 24ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  ZZ )
4241zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  CC )
4337, 42mul0ord 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0  <->  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) ) )
4432, 43bitr2d 247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  =  0  \/  ( c `  d )  =  0 )  <->  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) )
4544anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( a `
 d )  =  0  \/  ( c `
 d )  =  0 ) )  <->  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
4618, 45syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
4746rexbidva 2724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
4817, 47syl5bbr 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
4948abbidv 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
5016, 49syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
51 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  N  e.  NN0 )
522, 9pm3.2i 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN )
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN ) )
54 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
5554, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
5655feqmptd 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( a `  e ) ) )
5756, 54eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( a `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
58 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
5958, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
6059feqmptd 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( c `  e ) ) )
6160, 58eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
62 mzpmulmpt 26813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( a `  e
) )  e.  (mzPoly `  NN )  /\  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
6357, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
64 eldioph2 26834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( NN  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )  /\  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6551, 53, 63, 64syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6650, 65eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
)
67 uneq12 3498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  =  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
6867eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N )  <->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
) )
6966, 68syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7069rexlimdvva 2839 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7115, 70syl5bir 211 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  -> 
( A  u.  B
)  e.  (Dioph `  N ) ) )
7214, 71sylbid 208 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
731, 72syl 16 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N
)  /\  B  e.  (Dioph `  N ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7473anabsi5 792 1  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322    e. cmpt 4269    |` cres 4883   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ...cfz 11048  mzPolycmzp 26793  Diophcdioph 26827
This theorem is referenced by:  orrabdioph  26854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624  df-mzpcl 26794  df-mzp 26795  df-dioph 26828
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