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Theorem diophun 26853
Description: If two sets are Diophantine, so is their union. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophun  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )

Proof of Theorem diophun
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26843 . . 3  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
32jctr 526 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V ) )
4 1z 10053 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uzinf 11028 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
74, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -.  NN  e.  Fin
8 elfznn 10819 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ... N )  ->  a  e.  NN )
98ssriv 3184 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
107, 9pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )
11 eldioph2b 26842 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) } ) )
12 eldioph2b 26842 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( B  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } ) )
1311, 12anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  (
( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
143, 10, 13sylancl 643 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) ) )
15 reeanv 2707 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  <->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
16 unab 3435 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  u.  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }
17 r19.43 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. d  e.  ( NN0 
^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
18 andi 837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) )  <->  ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) )
19 zex 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ZZ  e.  _V
20 nn0ssz 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  C_  ZZ
21 mapss 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN ) )
2219, 20, 21mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN0 
^m  NN )  C_  ( ZZ  ^m  NN )
2322sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  e.  ( NN0  ^m  NN )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
a `  e )  =  ( a `  d ) )
26 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  d  ->  (
c `  e )  =  ( c `  d ) )
2725, 26oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  =  d  ->  (
( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) )
29 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  ( ZZ  ^m  NN )  ->  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) ) `  d )  =  ( ( a `
 d )  x.  ( c `  d
) ) )
3124, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  ( ( a `  d )  x.  ( c `  d ) ) )
3231eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `
 e )  x.  ( c `  e
) ) ) `  d )  =  0  <-> 
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0 ) )
33 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
34 mzpf 26814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a : ( ZZ 
^m  NN ) --> ZZ 
/\  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )  ->  ( a `  d )  e.  ZZ )
3735, 24, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  ZZ )
3837zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
a `  d )  e.  CC )
39 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
40 mzpf 26814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  (mzPoly `  NN )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
42 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c : ( ZZ 
^m  NN ) --> ZZ 
/\  d  e.  ( ZZ  ^m  NN ) )  ->  ( c `  d )  e.  ZZ )
4341, 24, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  ZZ )
4443zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
c `  d )  e.  CC )
4538, 44mul0ord 9418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  x.  (
c `  d )
)  =  0  <->  (
( a `  d
)  =  0  \/  ( c `  d
)  =  0 ) ) )
4632, 45bitr2d 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( a `  d )  =  0  \/  ( c `  d )  =  0 )  <->  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) )
4746anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( a `
 d )  =  0  \/  ( c `
 d )  =  0 ) )  <->  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
4818, 47syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  /\  d  e.  ( NN0  ^m  NN ) )  ->  (
( ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <-> 
( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
4948rexbidva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) ) )
5017, 49syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) )  <->  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) ) )
5150abbidv 2397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  ( E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 )  \/  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) ) }  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
5216, 51syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) } )
53 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  N  e.  NN0 )
542, 9pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN )
5554a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( NN  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  NN ) )
56 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  e.  (mzPoly `  NN )
)
5756, 34syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
5857feqmptd 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  a  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( a `  e ) ) )
5958, 56eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( a `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  e.  (mzPoly `  NN )
)
6160, 40syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c : ( ZZ  ^m  NN ) --> ZZ )
6261feqmptd 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  c  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( c `  e ) ) )
6362, 60eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
64 mzpmulmpt 26820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( a `  e
) )  e.  (mzPoly `  NN )  /\  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( c `  e ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
6559, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  NN )  |->  ( ( a `  e
)  x.  ( c `
 e ) ) )  e.  (mzPoly `  NN ) )
66 eldioph2 26841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( NN  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  NN )  /\  ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) )  e.  (mzPoly `  NN ) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  NN ) 
|->  ( ( a `  e )  x.  (
c `  e )
) ) `  d
)  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6753, 55, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  NN )  |->  ( ( a `  e )  x.  ( c `  e ) ) ) `
 d )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
6852, 67eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
)
69 uneq12 3324 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  =  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } ) )
7069eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N )  <->  ( { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  u.  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  e.  (Dioph `  N )
) )
7168, 70syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  e.  (mzPoly `  NN )  /\  c  e.  (mzPoly `  NN )
) )  ->  (
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7271rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) E. c  e.  (mzPoly `  NN )
( A  =  {
b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( a `  d )  =  0 ) }  /\  B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
c `  d )  =  0 ) } )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7315, 72syl5bir 209 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( E. a  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
a `  d )  =  0 ) }  /\  E. c  e.  (mzPoly `  NN ) B  =  { b  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( b  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( c `  d )  =  0 ) } )  -> 
( A  u.  B
)  e.  (Dioph `  N ) ) )
7414, 73sylbid 206 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
751, 74syl 15 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  ( ( A  e.  (Dioph `  N
)  /\  B  e.  (Dioph `  N ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) ) )
7675anabsi5 790 1  |-  ( ( A  e.  (Dioph `  N )  /\  B  e.  (Dioph `  N )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152    e. cmpt 4077    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782  mzPolycmzp 26800  Diophcdioph 26834
This theorem is referenced by:  orrabdioph  26861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802  df-dioph 26835
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