MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Unicode version

Theorem dipcn 21296
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
dipcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
dipcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
dipcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dipcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem dipcn
Dummy variables  x  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 eqid 2283 . . 3  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5 dipcn.p . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 21275 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  =  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) ) )
7 dipcn.c . . . . 5  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsxmet 21261 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
9 dipcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
109mopntopon 17985 . . . 4  |-  ( C  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
118, 10syl 15 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
) )
12 dipcn.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
13 fzfid 11035 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1 ... 4 )  e.  Fin )
1411adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1512cnfldtopon 18292 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
17 ax-icn 8796 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
18 elfznn 10819 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN )
1918adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN )
2019nnnn0d 10018 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN0 )
21 expcl 11121 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
2217, 20, 21sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 17364 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( _i ^
k ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
2414, 14cnmpt1st 17362 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2514, 14cnmpt2nd 17363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
267, 9, 3, 12smcn 21271 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .s OLD `  U )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
2726adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( .s OLD `  U )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 17369 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
297, 9, 2vacn 21267 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
3029adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 17369 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( x ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U )
y ) ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
324, 7, 9, 12nmcnc 21269 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( normCV `  U
)  e.  ( J  Cn  K ) )
3332adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( normCV `  U )  e.  ( J  Cn  K ) )
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 17366 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
3512sqcn 18378 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K )
3635a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
37 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) )  ->  ( z ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 17365 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
3912mulcn 18371 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4039a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 17369 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 18375 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
4315a1i 10 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
44 4cn 9820 . . . . 5  |-  4  e.  CC
45 4nn 9879 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
4645nnne0i 9780 . . . . 5  |-  4  =/=  0
4712divccn 18377 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  4
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
4844, 46, 47mp2an 653 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  4 ) )  e.  ( K  Cn  K )
4948a1i 10 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
4 ) )  e.  ( K  Cn  K
) )
50 oveq1 5865 . . 3  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  ->  ( z  /  4 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
5111, 11, 42, 43, 49, 50cnmpt21 17365 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K ) )
526, 51eqeltrd 2357 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147   .i
OLDcdip 21273
This theorem is referenced by:  ipasslem7  21414  occllem  21882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274
  Copyright terms: Public domain W3C validator