MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Unicode version

Theorem dipcn 22068
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
dipcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
dipcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
dipcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
dipcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem dipcn
Dummy variables  x  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2388 . . 3  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2388 . . 3  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 eqid 2388 . . 3  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5 dipcn.p . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 22047 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  =  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) ) )
7 dipcn.c . . . . 5  |-  C  =  ( IndMet `  U )
81, 7imsxmet 22033 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
9 dipcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
109mopntopon 18360 . . . 4  |-  ( C  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
118, 10syl 16 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
) )
12 dipcn.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
13 fzfid 11240 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1 ... 4 )  e.  Fin )
1411adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1512cnfldtopon 18689 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
17 ax-icn 8983 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
18 elfznn 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN )
1918adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN )
2019nnnn0d 10207 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  k  e.  NN0 )
21 expcl 11327 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
2217, 20, 21sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 17624 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( _i ^
k ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
2414, 14cnmpt1st 17622 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2514, 14cnmpt2nd 17623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
267, 9, 3, 12smcn 22043 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .s OLD `  U )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
2726adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( .s OLD `  U )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 17629 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
297, 9, 2vacn 22039 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
3029adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( +v `  U )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 17629 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( x ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U )
y ) ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
324, 7, 9, 12nmcnc 22041 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( normCV `  U
)  e.  ( J  Cn  K ) )
3332adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( normCV `  U )  e.  ( J  Cn  K ) )
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 17626 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
3512sqcn 18776 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z ^ 2 ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
37 oveq1 6028 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) )  ->  ( z ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 17625 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
3912mulcn 18769 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 17629 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet `  U
)  |->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 18773 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
4315a1i 11 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
44 4cn 10007 . . . . 5  |-  4  e.  CC
45 4nn 10068 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
4645nnne0i 9967 . . . . 5  |-  4  =/=  0
4712divccn 18775 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  4
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
4844, 46, 47mp2an 654 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  4 ) )  e.  ( K  Cn  K )
4948a1i 11 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
4 ) )  e.  ( K  Cn  K
) )
50 oveq1 6028 . . 3  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  ->  ( z  /  4 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
5111, 11, 42, 43, 49, 50cnmpt21 17625 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U ) ,  y  e.  ( BaseSet
`  U )  |->  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K ) )
526, 51eqeltrd 2462 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   CCcc 8922   0cc0 8924   1c1 8925   _ici 8926    x. cmul 8929    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   4c4 9984   NN0cn0 10154   ...cfz 10976   ^cexp 11310   sum_csu 12407   TopOpenctopn 13577   * Metcxmt 16613   MetOpencmopn 16618  ℂfldccnfld 16627  TopOnctopon 16883    Cn ccn 17211    tX ctx 17514   NrmCVeccnv 21912   +vcpv 21913   BaseSetcba 21914   .s
OLDcns 21915   normCVcnmcv 21918   IndMetcims 21919   .i
OLDcdip 22045
This theorem is referenced by:  ipasslem7  22186  occllem  22654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-gdiv 21631  df-ablo 21719  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-vs 21927  df-nmcv 21928  df-ims 21929  df-dip 22046
  Copyright terms: Public domain W3C validator