MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diporthcom Structured version   Unicode version

Theorem diporthcom 22253
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipcl.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
diporthcom  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A P B )  =  0  <->  ( B P A )  =  0 ) )

Proof of Theorem diporthcom
StepHypRef Expression
1 fveq2 5763 . . . 4  |-  ( ( A P B )  =  0  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( * `  0
) )
2 cj0 12001 . . . 4  |-  ( * `
 0 )  =  0
31, 2syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ( A P B )  =  0  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  0 )
4 ipcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 ipcl.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
64, 5dipcj 22251 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( A P B ) )  =  ( B P A ) )
76eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  ( A P B ) )  =  0  <->  ( B P A )  =  0 ) )
83, 7syl5ib 212 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A P B )  =  0  -> 
( B P A )  =  0 ) )
9 fveq2 5763 . . . 4  |-  ( ( B P A )  =  0  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( * `  0
) )
109, 2syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ( B P A )  =  0  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  0 )
114, 5dipcj 22251 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
12113com23 1160 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
1312eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( * `  ( B P A ) )  =  0  <->  ( A P B )  =  0 ) )
1410, 13syl5ib 212 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B P A )  =  0  -> 
( A P B )  =  0 ) )
158, 14impbid 185 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A P B )  =  0  <->  ( B P A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   0cc0 9028   *ccj 11939   NrmCVeccnv 22101   BaseSetcba 22103   .i
OLDcdip 22234
This theorem is referenced by:  pythi  22389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-sum 12518  df-grpo 21817  df-gid 21818  df-ginv 21819  df-ablo 21908  df-vc 22063  df-nv 22109  df-va 22112  df-ba 22113  df-sm 22114  df-0v 22115  df-nmcv 22117  df-dip 22235
  Copyright terms: Public domain W3C validator