MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdi Structured version   Unicode version

Theorem dipsubdi 22343
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipsubdir.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
ipsubdir.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
dipsubdi  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A P ( B M C ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )

Proof of Theorem dipsubdi
StepHypRef Expression
1 id 20 . . 3  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )
213com13 1158 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )
3 id 20 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
) )
433com12 1157 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
) )
5 ipsubdir.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 ipsubdir.3 . . . . . 6  |-  M  =  ( -v `  U
)
7 ipsubdir.7 . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
85, 6, 7dipsubdir 22342 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( B M C ) P A )  =  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )
94, 8sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( B M C ) P A )  =  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )
109fveq2d 5725 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
* `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( * `  (
( B P A )  -  ( C P A ) ) ) )
11 phnv 22308 . . . 4  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
12 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  U  e.  NrmCVec )
135, 6nvmcl 22121 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B M C )  e.  X )
14133com23 1159 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B M C )  e.  X )
15143adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( B M C )  e.  X
)
16 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
175, 7dipcj 22206 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B M C )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( A P ( B M C ) ) )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( A P ( B M C ) ) )
1911, 18sylan 458 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
* `  ( ( B M C ) P A ) )  =  ( A P ( B M C ) ) )
205, 7dipcl 22204 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B P A )  e.  CC )
21203adant3r1 1162 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( B P A )  e.  CC )
225, 7dipcl 22204 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C P A )  e.  CC )
23223adant3r2 1163 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( C P A )  e.  CC )
24 cjsub 11947 . . . . . 6  |-  ( ( ( B P A )  e.  CC  /\  ( C P A )  e.  CC )  -> 
( * `  (
( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `  ( B P A ) )  -  ( * `  ( C P A ) ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( * `  ( B P A ) )  -  ( * `  ( C P A ) ) ) )
265, 7dipcj 22206 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
27263adant3r1 1162 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( B P A ) )  =  ( A P B ) )
285, 7dipcj 22206 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
* `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
29283adant3r2 1163 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( C P A ) )  =  ( A P C ) )
3027, 29oveq12d 6092 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
* `  ( B P A ) )  -  ( * `  ( C P A ) ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
3125, 30eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( * `  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
3211, 31sylan 458 . . 3  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
* `  ( ( B P A )  -  ( C P A ) ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
3310, 19, 323eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( C  e.  X  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  ( A P ( B M C ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
342, 33sylan2 461 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A P ( B M C ) )  =  ( ( A P B )  -  ( A P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   CCcc 8981    - cmin 9284   *ccj 11894   NrmCVeccnv 22056   BaseSetcba 22058   -vcnsb 22061   .i OLDcdip 22189   CPreHil OLDccphlo 22306
This theorem is referenced by:  siilem1  22345  ip2eqi  22351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062  ax-mulf 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-ioo 10913  df-icc 10916  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-sum 12473  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-starv 13537  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-unif 13545  df-hom 13546  df-cco 13547  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-pt 13661  df-prds 13664  df-xrs 13719  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-qtop 13726  df-imas 13727  df-xps 13729  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-mulg 14808  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-cnfld 16697  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-cld 17076  df-ntr 17077  df-cls 17078  df-cn 17284  df-cnp 17285  df-t1 17371  df-haus 17372  df-tx 17587  df-hmeo 17780  df-xms 18343  df-ms 18344  df-tms 18345  df-grpo 21772  df-gid 21773  df-ginv 21774  df-gdiv 21775  df-ablo 21863  df-vc 22018  df-nv 22064  df-va 22067  df-ba 22068  df-sm 22069  df-0v 22070  df-vs 22071  df-nmcv 22072  df-ims 22073  df-dip 22190  df-ph 22307
  Copyright terms: Public domain W3C validator