MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirdm Unicode version

Theorem dirdm 14372
Description: A direction's domain is equal to its field. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dirdm  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )

Proof of Theorem dirdm
StepHypRef Expression
1 ssun1 3351 . . . 4  |-  dom  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
2 dmrnssfld 4954 . . . 4  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
31, 2sstri 3201 . . 3  |-  dom  R  C_ 
U. U. R
43a1i 10 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  C_  U. U. R )
5 dmresi 5021 . . 3  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  =  U. U. R
76isdir 14370 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
87ibi 232 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
98simpld 445 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
) )
109simprd 449 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)
11 dmss 4894 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. U. R
)  C_  R  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R )  C_  dom  R )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  dom  R )
135, 12syl5eqssr 3236 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  U. U. R  C_  dom  R )
144, 13eqssd 3209 1  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    C_ wss 3165   U.cuni 3843    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   DirRelcdir 14366
This theorem is referenced by:  dirref  14373  dirge  14375  tailfval  26424  tailf  26427  filnetlem4  26433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-dir 14368
  Copyright terms: Public domain W3C validator