MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirdm Unicode version

Theorem dirdm 14356
Description: A direction's domain is equal to its field. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dirdm  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )

Proof of Theorem dirdm
StepHypRef Expression
1 ssun1 3338 . . . 4  |-  dom  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
2 dmrnssfld 4938 . . . 4  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
31, 2sstri 3188 . . 3  |-  dom  R  C_ 
U. U. R
43a1i 10 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  C_  U. U. R )
5 dmresi 5005 . . 3  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  =  U. U. R
76isdir 14354 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
87ibi 232 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
98simpld 445 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
) )
109simprd 449 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)
11 dmss 4878 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. U. R
)  C_  R  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R )  C_  dom  R )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  dom  R )
135, 12syl5eqssr 3223 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  U. U. R  C_  dom  R )
144, 13eqssd 3196 1  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   U.cuni 3827    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   DirRelcdir 14350
This theorem is referenced by:  dirref  14357  dirge  14359  tailfval  26321  tailf  26324  filnetlem4  26330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-dir 14352
  Copyright terms: Public domain W3C validator