MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirdm Unicode version

Theorem dirdm 14599
Description: A direction's domain is equal to its field. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dirdm  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )

Proof of Theorem dirdm
StepHypRef Expression
1 ssun1 3446 . . . 4  |-  dom  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
2 dmrnssfld 5062 . . . 4  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
31, 2sstri 3293 . . 3  |-  dom  R  C_ 
U. U. R
43a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  C_  U. U. R )
5 dmresi 5129 . . 3  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
6 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  =  U. U. R
76isdir 14597 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
87ibi 233 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
98simpld 446 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
) )
109simprd 450 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)
11 dmss 5002 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. U. R
)  C_  R  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R )  C_  dom  R )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  dom  R )
135, 12syl5eqssr 3329 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  U. U. R  C_  dom  R )
144, 13eqssd 3301 1  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3254    C_ wss 3256   U.cuni 3950    _I cid 4427    X. cxp 4809   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   ran crn 4812    |` cres 4813    o. ccom 4815   Rel wrel 4816   DirRelcdir 14593
This theorem is referenced by:  dirref  14600  dirge  14602  tailfval  26085  tailf  26088  filnetlem4  26094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-dir 14595
  Copyright terms: Public domain W3C validator