MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirdm Structured version   Unicode version

Theorem dirdm 14671
Description: A direction's domain is equal to its field. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dirdm  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )

Proof of Theorem dirdm
StepHypRef Expression
1 ssun1 3502 . . . 4  |-  dom  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
2 dmrnssfld 5121 . . . 4  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
31, 2sstri 3349 . . 3  |-  dom  R  C_ 
U. U. R
43a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  C_  U. U. R )
5 dmresi 5188 . . 3  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
6 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  =  U. U. R
76isdir 14669 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
87ibi 233 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
98simpld 446 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
) )
109simprd 450 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)
11 dmss 5061 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  U. U. R
)  C_  R  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R )  C_  dom  R )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  dom  R )
135, 12syl5eqssr 3385 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  U. U. R  C_  dom  R )
144, 13eqssd 3357 1  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   U.cuni 4007    _I cid 4485    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872    o. ccom 4874   Rel wrel 4875   DirRelcdir 14665
This theorem is referenced by:  dirref  14672  dirge  14674  tailfval  26392  tailf  26395  filnetlem4  26401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-dir 14667
  Copyright terms: Public domain W3C validator