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Theorem dirge 14684
Description: For any two elements of a directed set, there exists a third element greater than or equal to both. (Note that this does not say that the two elements have a least upper bound.) (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dirge.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
dirge  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, X

Proof of Theorem dirge
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirge.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
2 dirdm 14681 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
31, 2syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  X  =  U. U. R )
43eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. U. R ) )
53eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( B  e.  X  <->  B  e.  U. U. R ) )
64, 5anbi12d 693 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  <->  ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R
) ) )
7 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. U. R  =  U. U. R
87isdir 14679 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
98ibi 234 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
109simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R
)  C_  ( `' R  o.  R )
) )
1110simprd 451 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( U. U. R  X.  U. U. R
)  C_  ( `' R  o.  R )
)
12 codir 5256 . . . . . 6  |-  ( ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
)  <->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
1311, 12sylib 190 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
14 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y R x  <->  A R x ) )
1514anbi1d 687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( y R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  z R x ) ) )
1615exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x ( y R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  z R x ) ) )
17 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z R x  <->  B R x ) )
1817anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( A R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  B R x ) ) )
1918exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( E. x ( A R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
2016, 19rspc2v 3060 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  ( A. y  e.  U. U. R A. z  e.  U. U. R E. x ( y R x  /\  z R x )  ->  E. x ( A R x  /\  B R x ) ) )
2113, 20syl5com 29 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
226, 21sylbid 208 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
23 reldir 14680 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  DirRel  ->  Rel  R )
24 relelrn 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  R  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2523, 24sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2625ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  ran  R ) )
27 ssun2 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
28 dmrnssfld 5131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
2927, 28sstri 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ran  R  C_ 
U. U. R
3029, 3syl5sseqr 3399 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ran  R  C_  X
)
3130sseld 3349 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( x  e. 
ran  R  ->  x  e.  X ) )
3226, 31syld 43 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  X ) )
3332adantrd 456 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  x  e.  X )
)
3433ancrd 539 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  -> 
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
3534eximdv 1633 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
36 df-rex 2713 . . . 4  |-  ( E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x )  <->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3735, 36syl6ibr 220 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3822, 37syld 43 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
39383impib 1152 1  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    u. cun 3320    C_ wss 3322   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    _I cid 4495    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882    o. ccom 4884   Rel wrel 4885   DirRelcdir 14675
This theorem is referenced by:  tailfb  26408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-dir 14677
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