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Theorem dirge 14375
Description: For any two elements of a directed set, there exists a third element greater than or equal to both. (Note that this does not say that the two elements have a least upper bound.) (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dirge.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
dirge  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, X

Proof of Theorem dirge
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirge.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
2 dirdm 14372 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
31, 2syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  X  =  U. U. R )
43eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. U. R ) )
53eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( B  e.  X  <->  B  e.  U. U. R ) )
64, 5anbi12d 691 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  <->  ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R
) ) )
7 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. U. R  =  U. U. R
87isdir 14370 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( R  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  R  /\  (  _I  |`  U. U. R )  C_  R
)  /\  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) ) )
98ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( Rel 
R  /\  (  _I  |` 
U. U. R )  C_  R )  /\  (
( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
) ) ) )
109simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( R  o.  R )  C_  R  /\  ( U. U. R  X.  U. U. R
)  C_  ( `' R  o.  R )
) )
1110simprd 449 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( U. U. R  X.  U. U. R
)  C_  ( `' R  o.  R )
)
12 codir 5079 . . . . . 6  |-  ( ( U. U. R  X.  U.
U. R )  C_  ( `' R  o.  R
)  <->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
1311, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  A. y  e.  U. U. R A. z  e. 
U. U. R E. x
( y R x  /\  z R x ) )
14 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y R x  <->  A R x ) )
1514anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( y R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  z R x ) ) )
1615exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x ( y R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  z R x ) ) )
17 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z R x  <->  B R x ) )
1817anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
( A R x  /\  z R x )  <->  ( A R x  /\  B R x ) ) )
1918exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( E. x ( A R x  /\  z R x )  <->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
2016, 19rspc2v 2903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  ( A. y  e.  U. U. R A. z  e.  U. U. R E. x ( y R x  /\  z R x )  ->  E. x ( A R x  /\  B R x ) ) )
2113, 20syl5com 26 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  U. U. R  /\  B  e.  U. U. R )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
226, 21sylbid 206 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x
( A R x  /\  B R x ) ) )
23 reldir 14371 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  DirRel  ->  Rel  R )
24 relelrn 4928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  R  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2523, 24sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A R x )  ->  x  e.  ran  R )
2625ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  ran  R ) )
27 ssun2 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  C_  ( dom  R  u.  ran  R )
28 dmrnssfld 4954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
R  u.  ran  R
)  C_  U. U. R
2927, 28sstri 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ran  R  C_ 
U. U. R
3029, 3syl5sseqr 3240 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ran  R  C_  X
)
3130sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( x  e. 
ran  R  ->  x  e.  X ) )
3226, 31syld 40 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( A R x  ->  x  e.  X ) )
3332adantrd 454 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  x  e.  X )
)
3433ancrd 537 . . . . 5  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A R x  /\  B R x )  -> 
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
3534eximdv 1612 . . . 4  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) ) )
36 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x )  <->  E. x
( x  e.  X  /\  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3735, 36syl6ibr 218 . . 3  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( E. x
( A R x  /\  B R x )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
3822, 37syld 40 . 2  |-  ( R  e.  DirRel  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) ) )
39383impib 1149 1  |-  ( ( R  e.  DirRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  E. x  e.  X  ( A R x  /\  B R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   DirRelcdir 14366
This theorem is referenced by:  tailfb  26429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-dir 14368
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