Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Unicode version

Theorem dirith2 20677
 Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to . Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.u Unit
rpvmasum.b
rpvmasum.t
Assertion
Ref Expression
dirith2

Proof of Theorem dirith2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 9752 . . . 4
2 inss1 3389 . . . . 5
3 prmnn 12761 . . . . . 6
43ssriv 3184 . . . . 5
52, 4sstri 3188 . . . 4
6 ssdomg 6907 . . . 4
71, 5, 6mp2 17 . . 3
87a1i 10 . 2
9 logno1 19983 . . . 4
10 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11
1110adantr 451 . . . . . . . . . 10
1211phicld 12840 . . . . . . . . 9
1312nnred 9761 . . . . . . . 8
1413adantr 451 . . . . . . 7
15 simpr 447 . . . . . . . . . 10
16 inss2 3390 . . . . . . . . . 10
17 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . . 9
1916sseli 3176 . . . . . . . . . 10
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
215, 20sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13
2221nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12
23 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11
2524, 21nndivred 9794 . . . . . . . . . 10
2619, 25sylan2 460 . . . . . . . . 9
2718, 26fsumrecl 12207 . . . . . . . 8
2827adantr 451 . . . . . . 7
29 rpssre 10364 . . . . . . . 8
3013recnd 8861 . . . . . . . 8
31 o1const 12093 . . . . . . . 8
3229, 30, 31sylancr 644 . . . . . . 7
3329a1i 10 . . . . . . . . 9
34 1re 8837 . . . . . . . . . 10
3534a1i 10 . . . . . . . . 9
3615, 25fsumrecl 12207 . . . . . . . . 9
37 log1 19939 . . . . . . . . . . . . 13
3821nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . 14
39 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 logleb 19957 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 22, 40sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14
4238, 41mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
4337, 42syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . 12
4424, 22, 43divge0d 10426 . . . . . . . . . . 11
4516a1i 10 . . . . . . . . . . 11
4615, 25, 44, 45fsumless 12254 . . . . . . . . . 10
4746adantr 451 . . . . . . . . 9
4833, 28, 35, 36, 47ello1d 11997 . . . . . . . 8
49 0re 8838 . . . . . . . . . 10
5049a1i 10 . . . . . . . . 9
5119, 44sylan2 460 . . . . . . . . . . 11
5218, 26, 51fsumge0 12253 . . . . . . . . . 10
5352adantr 451 . . . . . . . . 9
5428, 50, 53o1lo12 12012 . . . . . . . 8
5548, 54mpbird 223 . . . . . . 7
5614, 28, 32, 55o1mul2 12098 . . . . . 6
5713, 27remulcld 8863 . . . . . . . . 9
5857recnd 8861 . . . . . . . 8
5958adantr 451 . . . . . . 7
60 relogcl 19932 . . . . . . . . 9
6160adantl 452 . . . . . . . 8
6261recnd 8861 . . . . . . 7
63 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 ℤ/n
64 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 RHom
65 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 Unit
66 rpvmasum.b . . . . . . . . 9
67 rpvmasum.t . . . . . . . . 9
6863, 64, 10, 65, 66, 67rplogsum 20676 . . . . . . . 8
6968adantr 451 . . . . . . 7
7059, 62, 69o1dif 12103 . . . . . 6
7156, 70mpbid 201 . . . . 5
7271ex 423 . . . 4
739, 72mtoi 169 . . 3
74 nnenom 11042 . . . . 5
75 sdomentr 6995 . . . . 5
7674, 75mpan2 652 . . . 4
77 isfinite2 7115 . . . 4
7876, 77syl 15 . . 3
7973, 78nsyl 113 . 2
80 bren2 6892 . 2
818, 79, 80sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cin 3151   wss 3152  csn 3640   class class class wbr 4023   cmpt 4077  com 4656  ccnv 4688  cima 4692  cfv 5255  (class class class)co 5858   cen 6860   cdom 6861   csdm 6862  cfn 6863  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   cmul 8742   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  cn 9746  crp 10354  cfz 10782  cfl 10924  co1 11960  clo1 11961  csu 12158  cprime 12758  cphi 12832  Unitcui 15421  RHomczrh 16451  ℤ/nℤczn 16454  clog 19912 This theorem is referenced by:  dirith  20678 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-numer 12806  df-denom 12807  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165  df-dprd 15233  df-dpj 15234  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-quot 19671  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338  df-dchr 20472
 Copyright terms: Public domain W3C validator