Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirpre Unicode version

Theorem dirpre 25396
Description: A direction is a preset. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
dirpre  |-  ( D  e.  DirRel  ->  D  e. PresetRel )

Proof of Theorem dirpre
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  dom  D  =  dom  D
21isdir2 25395 . 2  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  ( D  e. PresetRel  /\  A. x  e.  dom  D A. y  e.  dom  D E. z  e.  dom  D  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
32simplbi 446 1  |-  ( D  e.  DirRel  ->  D  e. PresetRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {cpr 3654   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   DirRelcdir 14366  PresetRelcpresetrel 25318    ub cub 25321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-dir 14368  df-prs 25326  df-ub 25356
  Copyright terms: Public domain W3C validator