Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirpre Unicode version

Theorem dirpre 25293
Description: A direction is a preset. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
dirpre  |-  ( D  e.  DirRel  ->  D  e. PresetRel )

Proof of Theorem dirpre
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  dom  D  =  dom  D
21isdir2 25292 . 2  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  ( D  e. PresetRel  /\  A. x  e.  dom  D A. y  e.  dom  D E. z  e.  dom  D  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
32simplbi 446 1  |-  ( D  e.  DirRel  ->  D  e. PresetRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {cpr 3641   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   DirRelcdir 14350  PresetRelcpresetrel 25215    ub cub 25218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-dir 14352  df-prs 25223  df-ub 25253
  Copyright terms: Public domain W3C validator