Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirtr Structured version   Unicode version

Theorem dirtr 14673
 Description: A direction is transitive. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dirtr

Proof of Theorem dirtr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldir 14670 . . . . 5
2 brrelex 4908 . . . . . . 7
32ex 424 . . . . . 6
4 brrelex 4908 . . . . . . 7
54ex 424 . . . . . 6
63, 5anim12d 547 . . . . 5
71, 6syl 16 . . . 4
8 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
98isdir 14669 . . . . . . . . . . 11
109ibi 233 . . . . . . . . . 10
1110simprd 450 . . . . . . . . 9
1211simpld 446 . . . . . . . 8
13 cotr 5238 . . . . . . . 8
1412, 13sylib 189 . . . . . . 7
15 breq12 4209 . . . . . . . . . . 11
16153adant3 977 . . . . . . . . . 10
17 breq12 4209 . . . . . . . . . . 11
18173adant1 975 . . . . . . . . . 10
1916, 18anbi12d 692 . . . . . . . . 9
20 breq12 4209 . . . . . . . . . 10
21203adant2 976 . . . . . . . . 9
2219, 21imbi12d 312 . . . . . . . 8
2322spc3gv 3033 . . . . . . 7
2414, 23syl5 30 . . . . . 6
25243expia 1155 . . . . 5
2625com4t 81 . . . 4
277, 26mpdd 38 . . 3
2827imp31 422 . 2
2928an32s 780 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   wss 3312  cuni 4007   class class class wbr 4204   cid 4485   cxp 4868  ccnv 4869   cres 4872   ccom 4874   wrel 4875  cdir 14665 This theorem is referenced by:  tailfb  26397 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-res 4882  df-dir 14667
 Copyright terms: Public domain W3C validator