MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Unicode version

Theorem dis1stc 17225
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4216 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
2 distop 16733 . . . . . . . 8  |-  ( { x }  e.  _V  ->  ~P { x }  e.  Top )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  Top
4 tgtop 16711 . . . . . . 7  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ( topGen `  ~P { x } )  =  ~P { x } )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  =  ~P {
x }
6 topbas 16710 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ~P { x }  e.  TopBases )
73, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  TopBases
8 snfi 6941 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
9 pwfi 7151 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Fin )
108, 9mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x }  e.  Fin
11 isfinite 7353 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P { x }  e.  Fin 
<->  ~P { x }  ~<  om )
1210, 11mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ~P {
x }  ~<  om
13 sdomdom 6889 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  ~<  om 
->  ~P { x }  ~<_  om )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  ~<_  om
15 2ndci 17174 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P { x }  e. 
TopBases  /\  ~P { x }  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ~P { x } )  e.  2ndc )
167, 14, 15mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  e.  2ndc
175, 16eqeltrri 2354 . . . . 5  |-  ~P {
x }  e.  2ndc
18 2ndc1stc 17177 . . . . 5  |-  ( ~P { x }  e.  2ndc 
->  ~P { x }  e.  1stc )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ~P {
x }  e.  1stc
2019rgenw 2610 . . 3  |-  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc
21 dislly 17223 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  1stc  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc ) )
2220, 21mpbiri 224 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e. Locally  1stc )
23 lly1stc 17222 . 2  |- Locally  1stc  =  1stc
2422, 23syl6eleq 2373 1  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023   omcom 4656   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   1stcc1stc 17163   2ndcc2ndc 17164  Locally clly 17190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-card 7572  df-acn 7575  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-1stc 17165  df-2ndc 17166  df-lly 17192
  Copyright terms: Public domain W3C validator