MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Unicode version

Theorem dis1stc 17562
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4405 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
2 distop 17060 . . . . . . . 8  |-  ( { x }  e.  _V  ->  ~P { x }  e.  Top )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  Top
4 tgtop 17038 . . . . . . 7  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ( topGen `  ~P { x } )  =  ~P { x } )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  =  ~P {
x }
6 topbas 17037 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  e.  Top  ->  ~P { x }  e.  TopBases )
73, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  e.  TopBases
8 snfi 7187 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
9 pwfi 7402 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Fin )
108, 9mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x }  e.  Fin
11 isfinite 7607 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P { x }  e.  Fin 
<->  ~P { x }  ~<  om )
1210, 11mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ~P {
x }  ~<  om
13 sdomdom 7135 . . . . . . . 8  |-  ( ~P { x }  ~<  om 
->  ~P { x }  ~<_  om )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ~P {
x }  ~<_  om
15 2ndci 17511 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P { x }  e. 
TopBases  /\  ~P { x }  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ~P { x } )  e.  2ndc )
167, 14, 15mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( topGen `  ~P { x }
)  e.  2ndc
175, 16eqeltrri 2507 . . . . 5  |-  ~P {
x }  e.  2ndc
18 2ndc1stc 17514 . . . . 5  |-  ( ~P { x }  e.  2ndc 
->  ~P { x }  e.  1stc )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ~P {
x }  e.  1stc
2019rgenw 2773 . . 3  |-  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc
21 dislly 17560 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  1stc  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  1stc ) )
2220, 21mpbiri 225 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e. Locally  1stc )
23 lly1stc 17559 . 2  |- Locally  1stc  =  1stc
2422, 23syl6eleq 2526 1  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   ~Pcpw 3799   {csn 3814   class class class wbr 4212   omcom 4845   ` cfv 5454    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109   topGenctg 13665   Topctop 16958   TopBasesctb 16962   1stcc1stc 17500   2ndcc2ndc 17501  Locally clly 17527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-card 7826  df-acn 7829  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-1stc 17502  df-2ndc 17503  df-lly 17529
  Copyright terms: Public domain W3C validator