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Theorem dis2ndc 17186
Description: A discrete space is second-countable iff it is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis2ndc  |-  ( X  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc )

Proof of Theorem dis2ndc
Dummy variables  w  b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6869 . . 3  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4729 . 2  |-  ( X  ~<_  om  ->  X  e.  _V )
3 elex 2796 . . 3  |-  ( ~P X  e.  2ndc  ->  ~P X  e.  _V )
4 pwexb 4564 . . 3  |-  ( X  e.  _V  <->  ~P X  e.  _V )
53, 4sylibr 203 . 2  |-  ( ~P X  e.  2ndc  ->  X  e.  _V )
6 elex 2796 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  X  e.  _V )
7 snex 4216 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
87a1ii 24 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  ->  { x }  e.  _V ) )
9 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
109sneqr 3780 . . . . . . . . 9  |-  ( { x }  =  {
y }  ->  x  =  y )
11 sneq 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1210, 11impbii 180 . . . . . . . 8  |-  ( { x }  =  {
y }  <->  x  =  y )
1312a1ii 24 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( {
x }  =  {
y }  <->  x  =  y ) ) )
148, 13dom2lem 6901 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-> _V )
15 f1f1orn 5483 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-> _V  ->  ( x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )
17 f1oeng 6880 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( x  e.  X  |->  { x } ) : X -1-1-onto-> ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )  ->  X  ~~  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )
186, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  X  ~~  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )
19 domen1 7003 . . . 4  |-  ( X 
~~  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ->  ( X  ~<_  om  <->  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  ~<_  om ) )
2018, 19syl 15 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  ~<_  om  <->  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  ~<_  om ) )
21 distop 16733 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P X  e.  Top )
22 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
239snelpw 4221 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  <->  { x }  e.  ~P X
)
2422, 23sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ~P X )
25 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { x } )  =  ( x  e.  X  |->  { x } )
2624, 25fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  (
x  e.  X  |->  { x } ) : X --> ~P X )
27 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { x } ) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  ~P X )
2826, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  ~P X )
29 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
3029ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  y  C_  X )
31 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  z  e.  y )
3230, 31sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  z  e.  X )
33 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  { z }  =  { z } )
34 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
3534eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( { z }  =  { x }  <->  { z }  =  { z } ) )
3635rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  { z }  =  {
z } )  ->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } )
3732, 33, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } )
38 snex 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  _V
3925elrnmpt 4926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z }  e.  _V  ->  ( { z }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  <->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } ) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  <->  E. x  e.  X  { z }  =  { x } )
4137, 40sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  { z }  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { x } ) )
42 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
4342snid 3667 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
{ z }
4443a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  z  e.  { z } )
4531snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  { z }  C_  y )
46 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { z }  ->  ( z  e.  w  <->  z  e.  {
z } ) )
47 sseq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  { z }  ->  ( w  C_  y 
<->  { z }  C_  y ) )
4846, 47anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { z }  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  C_  y )  <->  ( z  e.  { z }  /\  { z }  C_  y
) ) )
4948rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { z }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  /\  ( z  e. 
{ z }  /\  { z }  C_  y
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )
5041, 44, 45, 49syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( y  e.  ~P X  /\  z  e.  y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )
5150ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  A. y  e.  ~P  X A. z  e.  y  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )
52 basgen2 16727 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P X  e.  Top  /\ 
ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  C_  ~P X  /\  A. y  e.  ~P  X A. z  e.  y  E. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  y ) )  ->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  X  |->  { x }
) )  =  ~P X )
5321, 28, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  =  ~P X )
5453adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  =  ~P X )
5553, 21eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
Top )
56 tgclb 16708 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
Top )
5755, 56sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  e.  TopBases )
58 2ndci 17174 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  e.  TopBases  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
2ndc )
5957, 58sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) )  e. 
2ndc )
6054, 59eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )  ->  ~P X  e.  2ndc )
61 is2ndc 17172 . . . . . 6  |-  ( ~P X  e.  2ndc  <->  E. b  e. 
TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )
62 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6463, 23sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ~P X
)
65 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( topGen `
 b )  =  ~P X )
6664, 65eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( topGen `  b ) )
679snid 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
{ x }
68 tg2 16703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { x }  e.  ( topGen `  b )  /\  x  e.  { x } )  ->  E. y  e.  b  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
{ x } ) )
6966, 67, 68sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  b  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
{ x } ) )
70 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  x  e.  y )
7170snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  { x }  C_  y )
72 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  y  C_  { x } )
7371, 72eqssd 3196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  { x }  =  y )
74 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  y  e.  b )
7573, 74eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  b  /\  ( x  e.  y  /\  y  C_  { x } ) ) )  ->  { x }  e.  b )
7675expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  b
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  C_  { x }
)  ->  { x }  e.  b )
)
7776rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. y  e.  b 
( x  e.  y  /\  y  C_  { x } )  ->  { x }  e.  b )
)
7869, 77mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  ( topGen `  b
)  =  ~P X
) )  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  b )
7978, 25fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ( x  e.  X  |->  { x }
) : X --> b )
80 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  { x } ) : X --> b  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  b )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  C_  b
)
82 ssdomg 6907 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  _V  ->  ( ran  ( x  e.  X  |->  { x } ) 
C_  b  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  b ) )
8362, 81, 82mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  b )
84 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  b  ~<_  om )
85 domtr 6914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  ( x  e.  X  |->  { x }
)  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  (
x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )
8683, 84, 85syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X ) )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )
8786ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  b  e.  TopBases )  ->  (
( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om ) )
8887rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  ~P X )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om ) )
8961, 88syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( ~P X  e.  2ndc  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om ) )
9089imp 418 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ~P X  e.  2ndc )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om )
9160, 90impbida 805 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( ran  ( x  e.  X  |->  { x } )  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc ) )
9220, 91bitrd 244 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc ) )
932, 5, 92pm5.21nii 342 1  |-  ( X  ~<_  om  <->  ~P X  e.  2ndc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656   ran crn 4690   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   2ndcc2ndc 17164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-2ndc 17166
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