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Theorem discmp 17231
Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
discmp  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )

Proof of Theorem discmp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 16839 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Top )
2 pwfi 7241 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
32biimpi 186 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
4 elin 3434 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  <->  ( ~P A  e.  Top  /\  ~P A  e.  Fin )
)
51, 3, 4sylanbrc 645 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  ( Top  i^i 
Fin ) )
6 fincmp 17226 . . 3  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ~P A  e.  Comp )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Comp )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A
)
98snssd 3839 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
10 snex 4297 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
1110elpw 3707 . . . . . . 7  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
129, 11sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  ~P A )
13 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  ( x  e.  A  |->  { x } )
1412, 13fmptd 5767 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A )
15 frn 5478 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1713rnmpt 5007 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  { x } }
1817unieqi 3918 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
1910dfiun2 4018 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
20 iunid 4038 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2118, 19, 203eqtr2ri 2385 . . . . 5  |-  A  = 
U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )
2221a1i 10 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  =  U. ran  (
x  e.  A  |->  { x } ) )
23 unipw 4306 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
2423eqcomi 2362 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
2524cmpcov 17222 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\ 
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  C_  ~P A  /\  A  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  i^i 
Fin ) A  = 
U. y )
2616, 22, 25mpd3an23 1279 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y
)
27 elin 3434 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  /\  y  e.  Fin ) )
2827simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  Fin )
2927simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
30 elpwi 3709 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
32 snfi 7029 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
3332rgenw 2686 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x }  e.  Fin
3413fmpt 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x }  e.  Fin  <->  (
x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin )
3533, 34mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin
36 frn 5478 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  C_  Fin )
3735, 36mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  Fin )
3831, 37sstrd 3265 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  Fin )
39 unifi 7235 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
4028, 38, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
41 eleq1 2418 . . . . 5  |-  ( A  =  U. y  -> 
( A  e.  Fin  <->  U. y  e.  Fin )
)
4240, 41syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
( A  =  U. y  ->  A  e.  Fin ) )
4342rexlimiv 2737 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y  ->  A  e.  Fin )
4426, 43syl 15 . 2  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  e.  Fin )
457, 44impbii 180 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   A.wral 2619   E.wrex 2620    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716   U.cuni 3908   U_ciun 3986    e. cmpt 4158   ran crn 4772   -->wf 5333   Fincfn 6951   Topctop 16737   Compccmp 17219
This theorem is referenced by:  disllycmp  17330  xkohaus  17453  xkoptsub  17454  xkopt  17455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-top 16742  df-cmp 17220
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