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Theorem discmp 17125
Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
discmp  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )

Proof of Theorem discmp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 16733 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Top )
2 pwfi 7151 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
32biimpi 186 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
4 elin 3358 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  <->  ( ~P A  e.  Top  /\  ~P A  e.  Fin )
)
51, 3, 4sylanbrc 645 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  ( Top  i^i 
Fin ) )
6 fincmp 17120 . . 3  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ~P A  e.  Comp )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Comp )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A
)
98snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
10 snex 4216 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
1110elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
129, 11sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  ~P A )
13 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  ( x  e.  A  |->  { x } )
1412, 13fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A )
15 frn 5395 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1713rnmpt 4925 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  { x } }
1817unieqi 3837 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
1910dfiun2 3937 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
20 iunid 3957 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2118, 19, 203eqtr2ri 2310 . . . . 5  |-  A  = 
U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )
2221a1i 10 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  =  U. ran  (
x  e.  A  |->  { x } ) )
23 unipw 4224 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
2423eqcomi 2287 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
2524cmpcov 17116 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\ 
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  C_  ~P A  /\  A  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  i^i 
Fin ) A  = 
U. y )
2616, 22, 25mpd3an23 1279 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y
)
27 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  /\  y  e.  Fin ) )
2827simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  Fin )
2927simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
30 elpwi 3633 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
32 snfi 6941 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
3332rgenw 2610 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x }  e.  Fin
3413fmpt 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x }  e.  Fin  <->  (
x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin )
3533, 34mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin
36 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  C_  Fin )
3735, 36mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  Fin )
3831, 37sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  Fin )
39 unifi 7145 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
4028, 38, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
41 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( A  =  U. y  -> 
( A  e.  Fin  <->  U. y  e.  Fin )
)
4240, 41syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
( A  =  U. y  ->  A  e.  Fin ) )
4342rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y  ->  A  e.  Fin )
4426, 43syl 15 . 2  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  e.  Fin )
457, 44impbii 180 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   Fincfn 6863   Topctop 16631   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  disllycmp  17224  xkohaus  17347  xkoptsub  17348  xkopt  17349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-top 16636  df-cmp 17114
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