MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  discmp Unicode version

Theorem discmp 17423
Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
discmp  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )

Proof of Theorem discmp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 17023 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Top )
2 pwfi 7368 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
32biimpi 187 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
4 elin 3498 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  <->  ( ~P A  e.  Top  /\  ~P A  e.  Fin )
)
51, 3, 4sylanbrc 646 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  ( Top  i^i 
Fin ) )
6 fincmp 17418 . . 3  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ~P A  e.  Comp )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Comp )
8 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A
)
98snssd 3911 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
10 snex 4373 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
1110elpw 3773 . . . . . . 7  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
129, 11sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  ~P A )
13 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  ( x  e.  A  |->  { x } )
1412, 13fmptd 5860 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A )
15 frn 5564 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1713rnmpt 5083 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  { x } }
1817unieqi 3993 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
1910dfiun2 4093 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
20 iunid 4114 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2118, 19, 203eqtr2ri 2439 . . . . 5  |-  A  = 
U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  =  U. ran  (
x  e.  A  |->  { x } ) )
23 unipw 4382 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
2423eqcomi 2416 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
2524cmpcov 17414 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\ 
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  C_  ~P A  /\  A  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  i^i 
Fin ) A  = 
U. y )
2616, 22, 25mpd3an23 1281 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y
)
27 elin 3498 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  /\  y  e.  Fin ) )
2827simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  Fin )
2927simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
3029elpwid 3776 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
31 snfi 7154 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
3231rgenw 2741 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x }  e.  Fin
3313fmpt 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x }  e.  Fin  <->  (
x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin )
3432, 33mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin
35 frn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  C_  Fin )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  Fin )
3730, 36sstrd 3326 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  Fin )
38 unifi 7362 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
3928, 37, 38syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
40 eleq1 2472 . . . . 5  |-  ( A  =  U. y  -> 
( A  e.  Fin  <->  U. y  e.  Fin )
)
4139, 40syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
( A  =  U. y  ->  A  e.  Fin ) )
4241rexlimiv 2792 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y  ->  A  e.  Fin )
4326, 42syl 16 . 2  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  e.  Fin )
447, 43impbii 181 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2398   A.wral 2674   E.wrex 2675    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   {csn 3782   U.cuni 3983   U_ciun 4061    e. cmpt 4234   ran crn 4846   -->wf 5417   Fincfn 7076   Topctop 16921   Compccmp 17411
This theorem is referenced by:  disllycmp  17522  xkohaus  17646  xkoptsub  17647  xkopt  17648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-top 16926  df-cmp 17412
  Copyright terms: Public domain W3C validator