Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  discmp Structured version   Unicode version

Theorem discmp 17492
 Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
discmp

Proof of Theorem discmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 17091 . . . 4
2 pwfi 7431 . . . . 5
32biimpi 188 . . . 4
4 elin 3516 . . . 4
51, 3, 4sylanbrc 647 . . 3
6 fincmp 17487 . . 3
75, 6syl 16 . 2
8 simpr 449 . . . . . . . 8
98snssd 3967 . . . . . . 7
10 snex 4434 . . . . . . . 8
1110elpw 3829 . . . . . . 7
129, 11sylibr 205 . . . . . 6
13 eqid 2442 . . . . . 6
1412, 13fmptd 5922 . . . . 5
15 frn 5626 . . . . 5
1614, 15syl 16 . . . 4
1713rnmpt 5145 . . . . . . 7
1817unieqi 4049 . . . . . 6
1910dfiun2 4149 . . . . . 6
20 iunid 4170 . . . . . 6
2118, 19, 203eqtr2ri 2469 . . . . 5
2221a1i 11 . . . 4
23 unipw 4443 . . . . . 6
2423eqcomi 2446 . . . . 5
2524cmpcov 17483 . . . 4
2616, 22, 25mpd3an23 1282 . . 3
27 elin 3516 . . . . . . 7
2827simprbi 452 . . . . . 6
2927simplbi 448 . . . . . . . 8
3029elpwid 3832 . . . . . . 7
31 snfi 7216 . . . . . . . . . 10
3231rgenw 2779 . . . . . . . . 9
3313fmpt 5919 . . . . . . . . 9
3432, 33mpbi 201 . . . . . . . 8
35 frn 5626 . . . . . . . 8
3634, 35mp1i 12 . . . . . . 7
3730, 36sstrd 3344 . . . . . 6
38 unifi 7424 . . . . . 6
3928, 37, 38syl2anc 644 . . . . 5
40 eleq1 2502 . . . . 5
4139, 40syl5ibrcom 215 . . . 4
4241rexlimiv 2830 . . 3
4326, 42syl 16 . 2
447, 43impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  cab 2428  wral 2711  wrex 2712   cin 3305   wss 3306  cpw 3823  csn 3838  cuni 4039  ciun 4117   cmpt 4291   crn 4908  wf 5479  cfn 7138  ctop 16989  ccmp 17480 This theorem is referenced by:  disllycmp  17592  xkohaus  17716  xkoptsub  17717  xkopt  17718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-top 16994  df-cmp 17481
 Copyright terms: Public domain W3C validator