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Theorem discmp 17492
Description: A discrete topology is compact iff the base set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
discmp  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )

Proof of Theorem discmp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 17091 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Top )
2 pwfi 7431 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
32biimpi 188 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
4 elin 3516 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  <->  ( ~P A  e.  Top  /\  ~P A  e.  Fin )
)
51, 3, 4sylanbrc 647 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  ( Top  i^i 
Fin ) )
6 fincmp 17487 . . 3  |-  ( ~P A  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ~P A  e.  Comp )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Comp )
8 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A
)
98snssd 3967 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
10 snex 4434 . . . . . . . 8  |-  { x }  e.  _V
1110elpw 3829 . . . . . . 7  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
129, 11sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  ~P A )
13 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  ( x  e.  A  |->  { x } )
1412, 13fmptd 5922 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A )
15 frn 5626 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> ~P A  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  ~P A )
1713rnmpt 5145 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  { x } }
1817unieqi 4049 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
1910dfiun2 4149 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  {
x } }
20 iunid 4170 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  { x }  =  A
2118, 19, 203eqtr2ri 2469 . . . . 5  |-  A  = 
U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } )
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  =  U. ran  (
x  e.  A  |->  { x } ) )
23 unipw 4443 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
2423eqcomi 2446 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
2524cmpcov 17483 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Comp  /\ 
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  C_  ~P A  /\  A  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  i^i 
Fin ) A  = 
U. y )
2616, 22, 25mpd3an23 1282 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y
)
27 elin 3516 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  /\  y  e.  Fin ) )
2827simprbi 452 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  Fin )
2927simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  e.  ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
3029elpwid 3832 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) )
31 snfi 7216 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  e.  Fin
3231rgenw 2779 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x }  e.  Fin
3313fmpt 5919 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x }  e.  Fin  <->  (
x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin )
3432, 33mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin
35 frn 5626 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x } ) : A --> Fin  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x } )  C_  Fin )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x } ) 
C_  Fin )
3730, 36sstrd 3344 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
y  C_  Fin )
38 unifi 7424 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
3928, 37, 38syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  ->  U. y  e.  Fin )
40 eleq1 2502 . . . . 5  |-  ( A  =  U. y  -> 
( A  e.  Fin  <->  U. y  e.  Fin )
)
4139, 40syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P ran  ( x  e.  A  |->  { x } )  i^i  Fin )  -> 
( A  =  U. y  ->  A  e.  Fin ) )
4241rexlimiv 2830 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( ~P
ran  ( x  e.  A  |->  { x }
)  i^i  Fin ) A  =  U. y  ->  A  e.  Fin )
4326, 42syl 16 . 2  |-  ( ~P A  e.  Comp  ->  A  e.  Fin )
447, 43impbii 182 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428   A.wral 2711   E.wrex 2712    i^i cin 3305    C_ wss 3306   ~Pcpw 3823   {csn 3838   U.cuni 4039   U_ciun 4117    e. cmpt 4291   ran crn 4908   -->wf 5479   Fincfn 7138   Topctop 16989   Compccmp 17480
This theorem is referenced by:  disllycmp  17592  xkohaus  17716  xkoptsub  17717  xkopt  17718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-top 16994  df-cmp 17481
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