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Theorem discr1 11237
Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
discr.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
discr.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
discr.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( A  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( B  x.  x
) )  +  C
) )
discr1.5  |-  X  =  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )
Assertion
Ref Expression
discr1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, X    ph, x

Proof of Theorem discr1
StepHypRef Expression
1 discr1.5 . . . . 5  |-  X  =  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )
2 discr.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  RR )
4 discr.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
54adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  e.  RR )
6 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
85, 6, 7sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
93, 8readdcld 8862 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
10 peano2re 8985 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR  ->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
12 discr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  RR )
1413renegcld 9210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -u A  e.  RR )
1512lt0neg1d 9342 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
1615biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  -u A )
1716gt0ne0d 9337 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -u A  =/=  0 )
1811, 14, 17redivcld 9588 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )
19 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
20 ifcl 3601 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )  e.  RR )
2118, 19, 20sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )  e.  RR )
221, 21syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  X  e.  RR )
23 discr.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( A  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( B  x.  x
) )  +  C
) )
2423ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( ( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C ) )
2524adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  (
( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C ) )
26 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( X ^ 2 ) ) )
28 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( B  x.  x )  =  ( B  x.  X ) )
2927, 28oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( A  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
3029oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) )
3130breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( (
( A  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  <->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) ) )
3231rspcv 2880 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( ( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  ->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) ) )
3322, 25, 32sylc 56 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) )
34 resqcl 11171 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X ^ 2 )  e.  RR )
3522, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( X ^ 2 )  e.  RR )
3613, 35remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  RR )
373, 22remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  x.  X )  e.  RR )
3836, 37readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  e.  RR )
3938, 5readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  e.  RR )
4013, 22remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  X )  e.  RR )
4140, 9readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
4241, 22remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  e.  RR )
436a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  e.  RR )
448, 22remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X )  e.  RR )
45 max2 10516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
466, 5, 45sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
47 max1 10514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
486, 5, 47sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
49 max1 10514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
5019, 18, 49sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  <_  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
5150, 1syl6breqr 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  <_  X )
528, 22, 48, 51lemulge11d 9694 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )
535, 8, 44, 46, 52letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  <_  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )
545, 44, 38, 53leadd2dd 9387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <_ 
( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  X
) ) )
5540, 3readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  B )  e.  RR )
5655recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  B )  e.  CC )
578recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
5822recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  X  e.  CC )
5956, 57, 58adddird 8860 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( A  x.  X
)  +  B )  x.  X )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
6040recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  X )  e.  CC )
613recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  CC )
6260, 61, 57addassd 8857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
6362oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  x.  X )  =  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
) )
6460, 61, 58adddird 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  x.  X )  =  ( ( ( A  x.  X )  x.  X )  +  ( B  x.  X
) ) )
6513recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  CC )
6665, 58, 58mulassd 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  x.  X )  =  ( A  x.  ( X  x.  X
) ) )
67 sqval 11163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  =  ( X  x.  X
) )
6858, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( X ^ 2 )  =  ( X  x.  X
) )
6968oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( X  x.  X
) ) )
7066, 69eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  x.  X )  =  ( A  x.  ( X ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  x.  X
)  +  ( B  x.  X ) )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
7264, 71eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  x.  X )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
7372oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  x.  X
)  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
7459, 63, 733eqtr3d 2323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
7554, 74breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <_ 
( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
) )
7614, 22remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  e.  RR )
779ltp1d 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 ) )
78 max2 10516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )  ->  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
7919, 18, 78sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
8079, 1syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X )
81 ledivmul 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  ( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A ) )  ->  ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X 
<->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) ) )
8211, 22, 14, 16, 81syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X  <->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) ) )
8380, 82mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) )
849, 11, 76, 77, 83ltletrd 8976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( -u A  x.  X )
)
8565, 58mulneg1d 9232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  =  -u ( A  x.  X ) )
86 df-neg 9040 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( A  x.  X )  =  ( 0  -  ( A  x.  X
) )
8785, 86syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  =  ( 0  -  ( A  x.  X
) ) )
8884, 87breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) )
89 ltaddsub2 9249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  x.  X
)  e.  RR  /\  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) ) )
9040, 9, 43, 89syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) ) )
9188, 90mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0 )
9219a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  e.  RR )
93 0lt1 9296 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
9493a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  1 )
9543, 92, 22, 94, 51ltletrd 8976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  X )
96 ltmul1 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( X  e.  RR  /\  0  <  X ) )  ->  ( (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) ) )
9741, 43, 22, 95, 96syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) ) )
9891, 97mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) )
9958mul02d 9010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
0  x.  X )  =  0 )
10098, 99breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  0 )
10139, 42, 43, 75, 100lelttrd 8974 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <  0 )
102 ltnle 8902 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <  0  <->  -.  0  <_  ( (
( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) ) )
10339, 6, 102sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) ) )
104101, 103mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -.  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) )
10533, 104pm2.65da 559 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A  <  0
)
106 lelttric 8927 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
1076, 12, 106sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
108107ord 366 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  <_  A  ->  A  <  0
) )
109105, 108mt3d 117 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ifcif 3565   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  discr  11238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
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