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Theorem discr1 11253
Description: A nonnegative quadratic form has nonnegative leading coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
discr.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
discr.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
discr.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( A  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( B  x.  x
) )  +  C
) )
discr1.5  |-  X  =  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )
Assertion
Ref Expression
discr1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, X    ph, x

Proof of Theorem discr1
StepHypRef Expression
1 discr1.5 . . . . 5  |-  X  =  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )
2 discr.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  RR )
4 discr.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
54adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  e.  RR )
6 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
85, 6, 7sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
93, 8readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
10 peano2re 9001 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR  ->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
12 discr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  RR )
1413renegcld 9226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -u A  e.  RR )
1512lt0neg1d 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  <  0  <->  0  <  -u A ) )
1615biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  -u A )
1716gt0ne0d 9353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -u A  =/=  0 )
1811, 14, 17redivcld 9604 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )
19 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
20 ifcl 3614 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )  e.  RR )
2118, 19, 20sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 )  e.  RR )
221, 21syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  X  e.  RR )
23 discr.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( ( A  x.  ( x ^
2 ) )  +  ( B  x.  x
) )  +  C
) )
2423ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( ( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C ) )
2524adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  (
( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C ) )
26 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
2726oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( X ^ 2 ) ) )
28 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( B  x.  x )  =  ( B  x.  X ) )
2927, 28oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( A  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
3029oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) )
3130breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( (
( A  x.  (
x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  <->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) ) )
3231rspcv 2893 . . . 4  |-  ( X  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( ( ( A  x.  ( x ^ 2 ) )  +  ( B  x.  x ) )  +  C )  ->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) ) )
3322, 25, 32sylc 56 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) )
34 resqcl 11187 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  ( X ^ 2 )  e.  RR )
3522, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( X ^ 2 )  e.  RR )
3613, 35remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  RR )
373, 22remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  x.  X )  e.  RR )
3836, 37readdcld 8878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  e.  RR )
3938, 5readdcld 8878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  e.  RR )
4013, 22remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  X )  e.  RR )
4140, 9readdcld 8878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
4241, 22remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  e.  RR )
436a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  e.  RR )
448, 22remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X )  e.  RR )
45 max2 10532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
466, 5, 45sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
47 max1 10530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
486, 5, 47sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
49 max1 10530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
5019, 18, 49sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  <_  if ( 1  <_ 
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
5150, 1syl6breqr 4079 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  <_  X )
528, 22, 48, 51lemulge11d 9710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <_  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )
535, 8, 44, 46, 52letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  C  <_  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )
545, 44, 38, 53leadd2dd 9403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <_ 
( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  X
) ) )
5540, 3readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  B )  e.  RR )
5655recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  B )  e.  CC )
578recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
5822recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  X  e.  CC )
5956, 57, 58adddird 8876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  x.  X )  =  ( ( ( ( A  x.  X
)  +  B )  x.  X )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
6040recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  X )  e.  CC )
613recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  CC )
6260, 61, 57addassd 8873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
6362oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  x.  X )  =  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
) )
6460, 61, 58adddird 8876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  x.  X )  =  ( ( ( A  x.  X )  x.  X )  +  ( B  x.  X
) ) )
6513recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  CC )
6665, 58, 58mulassd 8874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  x.  X )  =  ( A  x.  ( X  x.  X
) ) )
67 sqval 11179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  =  ( X  x.  X
) )
6858, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( X ^ 2 )  =  ( X  x.  X
) )
6968oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( X  x.  X
) ) )
7066, 69eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  x.  X )  =  ( A  x.  ( X ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  x.  X
)  +  ( B  x.  X ) )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
7264, 71eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  B
)  x.  X )  =  ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
7372oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  X )  +  B )  x.  X
)  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
7459, 63, 733eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  X ) ) )
7554, 74breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <_ 
( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
) )
7614, 22remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  e.  RR )
779ltp1d 9703 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 ) )
78 max2 10532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  e.  RR )  ->  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
7919, 18, 78sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  if ( 1  <_  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A ) ,  1 ) )
8079, 1syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X )
81 ledivmul 9645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR  /\  X  e.  RR  /\  ( -u A  e.  RR  /\  0  <  -u A ) )  ->  ( ( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X 
<->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) ) )
8211, 22, 14, 16, 81syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  /  -u A )  <_  X  <->  ( ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) ) )
8380, 82mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  +  1 )  <_  ( -u A  x.  X ) )
849, 11, 76, 77, 83ltletrd 8992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( -u A  x.  X )
)
8565, 58mulneg1d 9248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  =  -u ( A  x.  X ) )
86 df-neg 9056 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( A  x.  X )  =  ( 0  -  ( A  x.  X
) )
8785, 86syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( -u A  x.  X )  =  ( 0  -  ( A  x.  X
) ) )
8884, 87breqtrd 4063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) )
89 ltaddsub2 9265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  x.  X
)  e.  RR  /\  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) ) )
9040, 9, 43, 89syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <  ( 0  -  ( A  x.  X ) ) ) )
9188, 90mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0 )
9219a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  1  e.  RR )
93 0lt1 9312 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
9493a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  1 )
9543, 92, 22, 94, 51ltletrd 8992 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  0  <  X )
96 ltmul1 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( X  e.  RR  /\  0  <  X ) )  ->  ( (
( A  x.  X
)  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) ) )
9741, 43, 22, 95, 96syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <  0  <->  ( ( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) ) )
9891, 97mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  ( 0  x.  X ) )
9958mul02d 9026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
0  x.  X )  =  0 )
10098, 99breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  X )  +  ( B  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  x.  X
)  <  0 )
10139, 42, 43, 75, 100lelttrd 8990 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <  0 )
102 ltnle 8918 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C )  <  0  <->  -.  0  <_  ( (
( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) ) )
10339, 6, 102sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  (
( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( B  x.  X
) )  +  C
) ) )
104101, 103mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <  0 )  ->  -.  0  <_  ( ( ( A  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( B  x.  X ) )  +  C ) )
10533, 104pm2.65da 559 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A  <  0
)
106 lelttric 8943 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
1076, 12, 106sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
108107ord 366 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  <_  A  ->  A  <  0
) )
109105, 108mt3d 117 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ifcif 3578   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  discr  11254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
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