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Theorem disjabrex 23361
Description: Rewriting a disjoint collection into a partition of its image set (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjabrex  |-  (Disj  x  e.  A B  -> Disj  y  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B } y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjabrex
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4008 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A B
2 nfcv 2421 . . . . . 6  |-  F/_ x
y
3 nfv 1607 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  i  e.  A
4 nfcsb1v 3115 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ i  /  x ]_ B
54nfcri 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  j  e.  [_ i  /  x ]_ B
63, 5nfan 1773 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B )
76nfab 2425 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }
87nfuni 3835 . . . . . . . 8  |-  F/_ x U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }
98nfcsb1 3114 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B
109, 2nfeq 2428 . . . . . 6  |-  F/ x [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y
112, 10nfral 2598 . . . . 5  |-  F/ x A. j  e.  y  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y
12 eqeq2 2294 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y  <->  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B ) )
1312raleqbi1dv 2746 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( A. j  e.  y  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y  <->  A. j  e.  B  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B ) )
14 vex 2793 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1514a1i 10 . . . . 5  |-  (Disj  x  e.  A B  ->  y  e.  _V )
16 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  -> Disj  x  e.  A B )
17 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  x  e.  A
)
18 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  i  e.  A
)
1917, 18jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  ( x  e.  A  /\  i  e.  A ) )
20 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  j  e.  B
)
21 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  j  e.  [_ i  /  x ]_ B
)
2220, 21jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  ( j  e.  B  /\  j  e. 
[_ i  /  x ]_ B ) )
2316, 19, 223jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  (Disj  x  e.  A B  /\  ( x  e.  A  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  B  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) ) )
24 csbeq1a 3091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  x ]_ B )
254, 24disjif 23357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  ( x  e.  A  /\  i  e.  A
)  /\  ( j  e.  B  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  x  =  i )
2623, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  x  =  i )
2726ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B )  ->  x  =  i ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  ->  x  =  i )
29 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  ->  x  e.  A )
3028, 29eqeltrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
i  e.  A )
31 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
j  e.  B )
3224eleq2d 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  i  ->  (
j  e.  B  <->  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )
3328, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
( j  e.  B  <->  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )
3431, 33mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
j  e.  [_ i  /  x ]_ B )
3530, 34jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )
3635ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  (
x  =  i  -> 
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) ) )
3727, 36impbid 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B )  <-> 
x  =  i ) )
38 equcom 1649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  <->  i  =  x )
3937, 38syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B )  <-> 
i  =  x ) )
4039abbidv 2399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e. 
[_ i  /  x ]_ B ) }  =  { i  |  i  =  x } )
41 df-sn 3648 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  =  { i  |  i  =  x }
4240, 41syl6eqr 2335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e. 
[_ i  /  x ]_ B ) }  =  { x } )
4342unieqd 3840 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  U. { x } )
44 vex 2793 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
4544unisn 3845 . . . . . . . 8  |-  U. {
x }  =  x
4643, 45syl6eq 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  x )
47 csbeq1 3086 . . . . . . . 8  |-  ( U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  x  ->  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  [_ x  /  x ]_ B )
48 csbid 3090 . . . . . . . 8  |-  [_ x  /  x ]_ B  =  B
4947, 48syl6eq 2333 . . . . . . 7  |-  ( U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  x  ->  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B )
5046, 49syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B )
5150ralrimiva 2628 . . . . 5  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  ->  A. j  e.  B  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B )
521, 11, 13, 15, 51elabreximd 23041 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  A. j  e.  y  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y )
5352ex 423 . . 3  |-  (Disj  x  e.  A B  ->  (
y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ->  A. j  e.  y  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y ) )
5453ralrimiv 2627 . 2  |-  (Disj  x  e.  A B  ->  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } A. j  e.  y  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y )
55 invdisj 4014 . 2  |-  ( A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } A. j  e.  y  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y  -> Disj  y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } y )
5654, 55syl 15 1  |-  (Disj  x  e.  A B  -> Disj  y  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B } y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   {cab 2271   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790   [_csb 3083   {csn 3642   U.cuni 3829  Disj wdisj 3995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-nul 3458  df-sn 3648  df-pr 3649  df-uni 3830  df-disj 3996
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