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Theorem disjabrex 24026
Description: Rewriting a disjoint collection into a partition of its image set (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjabrex  |-  (Disj  x  e.  A B  -> Disj  y  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B } y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjabrex
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4197 . . . 4  |-  F/ xDisj  x  e.  A B
2 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ x
y
3 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  i  e.  A
4 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ i  /  x ]_ B
54nfcri 2568 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  j  e.  [_ i  /  x ]_ B
63, 5nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B )
76nfab 2578 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }
87nfuni 4023 . . . . . . 7  |-  F/_ x U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }
98nfcsb1 3284 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B
109nfeq1 2583 . . . . 5  |-  F/ x [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y
112, 10nfral 2761 . . . 4  |-  F/ x A. j  e.  y  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y
12 eqeq2 2447 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y  <->  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B ) )
1312raleqbi1dv 2914 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. j  e.  y  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y  <->  A. j  e.  B  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B ) )
14 vex 2961 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
1514a1i 11 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A B  ->  y  e.  _V )
16 simplll 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  -> Disj  x  e.  A B )
17 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  x  e.  A
)
18 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  i  e.  A
)
19 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  j  e.  B
)
20 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  j  e.  [_ i  /  x ]_ B
)
21 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  x ]_ B )
224, 21disjif 24022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  ( x  e.  A  /\  i  e.  A
)  /\  ( j  e.  B  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  x  =  i )
2316, 17, 18, 19, 20, 22syl122anc 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  (
i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )  ->  x  =  i )
24 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  ->  x  =  i )
25 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  ->  x  e.  A )
2624, 25eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
i  e.  A )
27 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
j  e.  B )
2821eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  i  ->  (
j  e.  B  <->  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )
2924, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
( j  e.  B  <->  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )
3027, 29mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
j  e.  [_ i  /  x ]_ B )
3126, 30jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A )  /\  j  e.  B )  /\  x  =  i )  -> 
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) )
3223, 31impbida 807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B )  <-> 
x  =  i ) )
33 equcom 1693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  <->  i  =  x )
3432, 33syl6bb 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B )  <-> 
i  =  x ) )
3534abbidv 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e. 
[_ i  /  x ]_ B ) }  =  { i  |  i  =  x } )
36 df-sn 3822 . . . . . . . . 9  |-  { x }  =  { i  |  i  =  x }
3735, 36syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e. 
[_ i  /  x ]_ B ) }  =  { x } )
3837unieqd 4028 . . . . . . 7  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  U. { x } )
39 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4039unisn 4033 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
4138, 40syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  x )
42 csbeq1 3256 . . . . . . 7  |-  ( U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  x  ->  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  [_ x  /  x ]_ B )
43 csbid 3260 . . . . . . 7  |-  [_ x  /  x ]_ B  =  B
4442, 43syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  =  x  ->  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B )
4541, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  /\  j  e.  B )  ->  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B )
4645ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  x  e.  A
)  ->  A. j  e.  B  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  B )
471, 11, 13, 15, 46elabreximd 23993 . . 3  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  A. j  e.  y  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y )
4847ralrimiva 2791 . 2  |-  (Disj  x  e.  A B  ->  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } A. j  e.  y  [_ U. {
i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y )
49 invdisj 4203 . 2  |-  ( A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } A. j  e.  y  [_ U. { i  |  ( i  e.  A  /\  j  e.  [_ i  /  x ]_ B ) }  /  x ]_ B  =  y  -> Disj  y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } y )
5048, 49syl 16 1  |-  (Disj  x  e.  A B  -> Disj  y  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B } y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   [_csb 3253   {csn 3816   U.cuni 4017  Disj wdisj 4184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-nul 3631  df-sn 3822  df-pr 3823  df-uni 4018  df-disj 4185
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