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Theorem disjiun 4013
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 3994 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A B  <->  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )
2 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  C  B  /\  y  e.  U_ x  e.  D  B
) )
3 eliun 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  C  B  <->  E. x  e.  C  y  e.  B )
4 eliun 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  D  B  <->  E. x  e.  D  y  e.  B )
53, 4anbi12i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  C  B  /\  y  e.  U_ x  e.  D  B )  <->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )
62, 5bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  <->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
) )
7 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  y  e.  B
87rmo2 3076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E* x  e.  A y  e.  B  <->  E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
9 an4 797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
) )  <->  ( ( C  C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B )  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) ) )
10 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) ) )
1110impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  C  C_  A
)  ->  A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
12 r19.29 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  ->  E. x  e.  C  ( (
y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
) )
13 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
1413imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  x  =  z )
1514eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  e.  C  <->  z  e.  C
) )
1615biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  C  ->  (
( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B )  ->  z  e.  C ) )
1716rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  C  ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  z  e.  C )
1812, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  C  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  ->  z  e.  C )
1918ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  C  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  ->  z  e.  C ) )
2011, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  C  C_  A
)  ->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  ->  z  e.  C ) )
2120expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( C  C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  ->  z  e.  C ) )
22 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) ) )
2322impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  D  C_  A
)  ->  A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z ) )
24 r19.29 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
)  ->  E. x  e.  D  ( (
y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
) )
2514eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  e.  D  <->  z  e.  D
) )
2625biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B )  ->  z  e.  D ) )
2726rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  D  ( ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  y  e.  B
)  ->  z  e.  D )
2824, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  D  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
)  ->  z  e.  D )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  D  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( E. x  e.  D  y  e.  B  ->  z  e.  D ) )
3023, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  /\  D  C_  A
)  ->  ( E. x  e.  D  y  e.  B  ->  z  e.  D ) )
3130expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
)  ->  z  e.  D ) )
3221, 31anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( ( C 
C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B )  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( z  e.  C  /\  z  e.  D
) ) )
33 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  C  /\  z  e.  D )  ->  ( C  i^i  D
)  =/=  (/) )
3432, 33syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  ( ( ( C 
C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B )  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
3534exlimiv 1666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  (
( ( C  C_  A  /\  E. x  e.  C  y  e.  B
)  /\  ( D  C_  A  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
369, 35syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  (
( ( C  C_  A  /\  D  C_  A
)  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
3736exp3a 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  x  =  z )  ->  (
( C  C_  A  /\  D  C_  A )  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
388, 37sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  A y  e.  B  ->  (
( C  C_  A  /\  D  C_  A )  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
3938impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
406, 39syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) )
4140necon2bd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
4241impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  -> 
( E* x  e.  A y  e.  B  ->  -.  y  e.  (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
43423impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( E* x  e.  A y  e.  B  ->  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
4443alimdv 1607 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( A. y E* x  e.  A
y  e.  B  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) ) )
451, 44syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  (Disj  x  e.  A B  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
4645impcom 419 . 2  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) )
47 eq0 3469 . 2  |-  ( (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) )
4846, 47sylibr 203 1  |-  ( (Disj  x  e.  A B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E*wrmo 2546    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993
This theorem is referenced by:  disjiunOLD  4014  disjxiun  4020  fsumiun  12279  uniioombllem4  18941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rmo 2551  df-v 2790  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-iun 3907  df-disj 3994
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