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Theorem disjss3 4022
Description: Expand a disjoint collection with any number of empty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjss3  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  ( B 
\  A ) C  =  (/) )  ->  (Disj  x  e.  A C  <-> Disj  x  e.  B C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem disjss3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2548 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( B  \  A ) C  =  (/) 
<-> 
A. x ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) ) )
2 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  y  e.  C )
3 n0i 3460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  C  ->  -.  C  =  (/) )
42, 3syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  -.  C  =  (/) )
5 simp3l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  x  e.  B )
6 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A ) )
7 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x  e.  ( B 
\  A )  ->  C  =  (/) ) )
86, 7syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
)  ->  C  =  (/) ) )
95, 8mpand 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  C  =  (/) ) )
104, 9mt3d 117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  x  e.  A )
1110, 2jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  C )
)
12113exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  ( B  \  A )  ->  C  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  C )
) ) )
1312alimdv 1607 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x ( x  e.  ( B  \  A
)  ->  C  =  (/) )  ->  A. x
( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  C )
) ) )
141, 13syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  ( B  \  A ) C  =  (/)  ->  A. x
( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  C )
) ) )
1514imp 418 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  ( B 
\  A ) C  =  (/) )  ->  A. x
( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  C )
) )
16 moim 2189 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  C )
)  ->  ( E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  C )  ->  E* x ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  ( B 
\  A ) C  =  (/) )  ->  ( E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  C )  ->  E* x ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
1817alimdv 1607 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  ( B 
\  A ) C  =  (/) )  ->  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  C )  ->  A. y E* x
( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
19 dfdisj2 3995 . . 3  |-  (Disj  x  e.  A C  <->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  y  e.  C ) )
20 dfdisj2 3995 . . 3  |-  (Disj  x  e.  B C  <->  A. y E* x ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) )
2118, 19, 203imtr4g 261 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  ( B 
\  A ) C  =  (/) )  ->  (Disj  x  e.  A C  -> Disj  x  e.  B C ) )
22 disjss1 3999 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (Disj  x  e.  B C  -> Disj  x  e.  A C ) )
2322adantr 451 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  ( B 
\  A ) C  =  (/) )  ->  (Disj  x  e.  B C  -> Disj  x  e.  A C ) )
2421, 23impbid 183 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  ( B 
\  A ) C  =  (/) )  ->  (Disj  x  e.  A C  <-> Disj  x  e.  B C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144   A.wral 2543    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455  Disj wdisj 3993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rmo 2551  df-v 2790  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-disj 3994
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