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Theorem disjxiun 4036
Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that  B ( y ) and  C
( x ) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjxiun  |-  (Disj  y  e.  A B  ->  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  <->  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    y, C
Allowed substitution hints:    B( y)    C( x)

Proof of Theorem disjxiun
Dummy variables  s 
r  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 3949 . . . . . 6  |-  F/_ y U_ y  e.  A  B
2 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ y C
31, 2nfdisj 4021 . . . . 5  |-  F/ yDisj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
4 ssiun2 3961 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  B  C_ 
U_ y  e.  A  B )
5 disjss1 4015 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  U_ y  e.  A  B  ->  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  -> Disj  x  e.  B C
) )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  -> Disj  x  e.  B C ) )
76com12 27 . . . . 5  |-  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  ->  ( y  e.  A  -> Disj  x  e.  B C ) )
83, 7ralrimi 2637 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  ->  A. y  e.  A Disj  x  e.  B C )
98a1i 10 . . 3  |-  (Disj  y  e.  A B  ->  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  ->  A. y  e.  A Disj  x  e.  B C ) )
10 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  -.  u  =  v ) )  -> Disj  x  e. 
U_ y  e.  A  B C )
11 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  -.  u  =  v ) )  ->  u  e.  A )
12 ssiun2 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  A  ->  [_ u  /  y ]_ B  C_ 
U_ u  e.  A  [_ u  /  y ]_ B )
13 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ u B
14 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y [_ u  /  y ]_ B
15 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  u  ->  B  =  [_ u  /  y ]_ B )
1613, 14, 15cbviun 3955 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ y  e.  A  B  =  U_ u  e.  A  [_ u  /  y ]_ B
1712, 16syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  A  ->  [_ u  /  y ]_ B  C_ 
U_ y  e.  A  B )
1811, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  -.  u  =  v ) )  ->  [_ u  /  y ]_ B  C_ 
U_ y  e.  A  B )
19 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  -.  u  =  v ) )  ->  v  e.  A )
20 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  v  ->  [_ u  /  y ]_ B  =  [_ v  /  y ]_ B )
2120sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  ( [_ u  /  y ]_ B  C_  U_ y  e.  A  B  <->  [_ v  / 
y ]_ B  C_  U_ y  e.  A  B )
)
2221, 17vtoclga 2862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  A  ->  [_ v  /  y ]_ B  C_ 
U_ y  e.  A  B )
2319, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  -.  u  =  v ) )  ->  [_ v  /  y ]_ B  C_ 
U_ y  e.  A  B )
24 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  -> Disj  y  e.  A B )
2513, 14, 15cbvdisj 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Disj  y  e.  A B  <-> Disj  u  e.  A [_ u  /  y ]_ B )
2624, 25sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  -> Disj  u  e.  A [_ u  /  y ]_ B )
2720disjor 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  u  e.  A [_ u  / 
y ]_ B  <->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  \/  ( [_ u  /  y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B
)  =  (/) ) )
2826, 27sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  \/  ( [_ u  /  y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B
)  =  (/) ) )
29 rsp2 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  (
u  =  v  \/  ( [_ u  / 
y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B
)  =  (/) )  -> 
( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
u  =  v  \/  ( [_ u  / 
y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B
)  =  (/) ) ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  ->  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( u  =  v  \/  ( [_ u  /  y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B )  =  (/) ) ) )
3130imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  \/  ( [_ u  /  y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B )  =  (/) ) )
3231ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( -.  u  =  v  ->  ( [_ u  /  y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B )  =  (/) ) )
3332impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  -.  u  =  v ) )  ->  ( [_ u  /  y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B
)  =  (/) )
34 disjiun 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  /\  ( [_ u  /  y ]_ B  C_  U_ y  e.  A  B  /\  [_ v  /  y ]_ B  C_  U_ y  e.  A  B  /\  ( [_ u  /  y ]_ B  i^i  [_ v  /  y ]_ B
)  =  (/) ) )  ->  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C )  =  (/) )
3510, 18, 23, 33, 34syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  -.  u  =  v ) )  ->  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )  =  (/) )
3635expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( -.  u  =  v  ->  ( U_ x  e.  [_  u  / 
y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )  =  (/) ) )
3736orrd 367 . . . . . . 7  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  \/  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C )  =  (/) ) )
3837ralrimivva 2648 . . . . . 6  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  \/  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )  =  (/) ) )
3920iuneq1d 3944 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  =  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C )
4039disjor 4023 . . . . . 6  |-  (Disj  u  e.  A U_ x  e. 
[_  u  /  y ]_ B C  <->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  \/  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )  =  (/) ) )
4138, 40sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  -> Disj  u  e.  A U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C )
42 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ u U_ x  e.  B  C
4314, 2nfiun 3947 . . . . . 6  |-  F/_ y U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C
4415iuneq1d 3944 . . . . . 6  |-  ( y  =  u  ->  U_ x  e.  B  C  =  U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C )
4542, 43, 44cbvdisj 4019 . . . . 5  |-  (Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C  <-> Disj  u  e.  A U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C )
4641, 45sylibr 203 . . . 4  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\ Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C
)  -> Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
4746ex 423 . . 3  |-  (Disj  y  e.  A B  ->  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  -> Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)
489, 47jcad 519 . 2  |-  (Disj  y  e.  A B  ->  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  -> 
( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) ) )
4916eleq2i 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  U_ y  e.  A  B  <->  r  e.  U_ u  e.  A  [_ u  /  y ]_ B
)
50 eliun 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  U_ u  e.  A  [_ u  / 
y ]_ B  <->  E. u  e.  A  r  e.  [_ u  /  y ]_ B )
5149, 50bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  U_ y  e.  A  B  <->  E. u  e.  A  r  e.  [_ u  /  y ]_ B )
52 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ v B
53 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y [_ v  /  y ]_ B
54 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  B  =  [_ v  /  y ]_ B )
5552, 53, 54cbviun 3955 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  A  B  =  U_ v  e.  A  [_ v  /  y ]_ B
5655eleq2i 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  U_ y  e.  A  B  <->  s  e.  U_ v  e.  A  [_ v  /  y ]_ B
)
57 eliun 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  U_ v  e.  A  [_ v  / 
y ]_ B  <->  E. v  e.  A  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )
5856, 57bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  U_ y  e.  A  B  <->  E. v  e.  A  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )
5951, 58anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  U_ y  e.  A  B  /\  s  e.  U_ y  e.  A  B )  <->  ( E. u  e.  A  r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  E. v  e.  A  s  e.  [_ v  /  y ]_ B ) )
60 reeanv 2720 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  A  E. v  e.  A  (
r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B
)  <->  ( E. u  e.  A  r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  E. v  e.  A  s  e.  [_ v  /  y ]_ B
) )
6159, 60bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  U_ y  e.  A  B  /\  s  e.  U_ y  e.  A  B )  <->  E. u  e.  A  E. v  e.  A  ( r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B ) )
62 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  -.  r  =  s )
63 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  u  e.  A )
64 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  A. y  e.  A Disj  x  e.  B C )
6514, 2nfdisj 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ yDisj  x  e.  [_ u  / 
y ]_ B C
6615disjeq1d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (Disj  x  e.  B C  <-> Disj  x  e.  [_ u  /  y ]_ B C ) )
6765, 66rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  A  ->  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  -> Disj  x  e.  [_ u  / 
y ]_ B C ) )
6863, 64, 67sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  -> Disj  x  e. 
[_ u  /  y ]_ B C )
6968ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  -> Disj  x  e. 
[_ u  /  y ]_ B C )
70 disjors 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  x  e.  [_ u  /  y ]_ B C  <->  A. r  e.  [_  u  /  y ]_ B A. s  e. 
[_  u  /  y ]_ B ( r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
7169, 70sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  A. r  e.  [_  u  /  y ]_ B A. s  e. 
[_  u  /  y ]_ B ( r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
72 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  (
r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B
) )
7372simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  r  e.  [_ u  /  y ]_ B )
7472simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )
7520adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  [_ u  /  y ]_ B  =  [_ v  /  y ]_ B )
7674, 75eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  s  e.  [_ u  /  y ]_ B )
7773, 76jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  (
r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ u  /  y ]_ B
) )
78 rsp2 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. r  e.  [_  u  / 
y ]_ B A. s  e.  [_  u  /  y ]_ B ( r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) )  ->  ( ( r  e.  [_ u  / 
y ]_ B  /\  s  e.  [_ u  /  y ]_ B )  ->  (
r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
7971, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  (
r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
8079ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  ( -.  r  =  s  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
8162, 80mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =  v )  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) )
82 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  (
r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B
) )
8382simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  r  e.  [_ u  /  y ]_ B )
84 ssiun2 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  [_ u  / 
y ]_ B  ->  [_ r  /  x ]_ C  C_  U_ r  e.  [_  u  /  y ]_ B [_ r  /  x ]_ C )
85 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ r C
86 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ r  /  x ]_ C
87 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  r  ->  C  =  [_ r  /  x ]_ C )
8885, 86, 87cbviun 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  =  U_ r  e.  [_  u  / 
y ]_ B [_ r  /  x ]_ C
8984, 88syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  [_ u  / 
y ]_ B  ->  [_ r  /  x ]_ C  C_  U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C )
9083, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  [_ r  /  x ]_ C  C_  U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C )
9182simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )
92 ssiun2 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  [_ v  / 
y ]_ B  ->  [_ s  /  x ]_ C  C_  U_ s  e.  [_  v  /  y ]_ B [_ s  /  x ]_ C )
93 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ s C
94 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ s  /  x ]_ C
95 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  s  ->  C  =  [_ s  /  x ]_ C )
9693, 94, 95cbviun 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C  =  U_ s  e.  [_  v  / 
y ]_ B [_ s  /  x ]_ C
9792, 96syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  [_ v  / 
y ]_ B  ->  [_ s  /  x ]_ C  C_  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )
9891, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  [_ s  /  x ]_ C  C_  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )
99 ss2in 3409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
[_ r  /  x ]_ C  C_  U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  /\  [_ s  /  x ]_ C  C_  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C ) 
C_  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C ) )
10090, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C ) 
C_  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C ) )
101 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  -> Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
102101ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  -> Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
103 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z U_ x  e.  B  C
104 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y [_ z  /  y ]_ B
105104, 2nfiun 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y U_ x  e.  [_  z  /  y ]_ B C
106 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  B  =  [_ z  /  y ]_ B )
107106iuneq1d 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  U_ x  e.  B  C  =  U_ x  e.  [_  z  /  y ]_ B C )
108103, 105, 107cbvdisj 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C  <-> Disj  z  e.  A U_ x  e.  [_  z  /  y ]_ B C )
109102, 108sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  -> Disj  z  e.  A U_ x  e. 
[_  z  /  y ]_ B C )
11063ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  u  e.  A )
111 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  v  e.  A )
112111ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  v  e.  A )
113 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  u  =/=  v )
114 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  u  ->  [_ z  /  y ]_ B  =  [_ u  /  y ]_ B )
115114iuneq1d 3944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  u  ->  U_ x  e.  [_  z  /  y ]_ B C  =  U_ x  e.  [_  u  / 
y ]_ B C )
116 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  v  ->  [_ z  /  y ]_ B  =  [_ v  /  y ]_ B )
117116iuneq1d 3944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  v  ->  U_ x  e.  [_  z  /  y ]_ B C  =  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C )
118115, 117disji2 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Disj  z  e.  A U_ x  e.  [_  z  / 
y ]_ B C  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v )  ->  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )  =  (/) )
119109, 110, 112, 113, 118syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  /  y ]_ B C )  =  (/) )
120 sseq0 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C ) 
C_  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C )  /\  ( U_ x  e.  [_  u  /  y ]_ B C  i^i  U_ x  e.  [_  v  / 
y ]_ B C )  =  (/) )  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) )
121100, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  /\  u  =/=  v )  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) )
12281, 121pm2.61dane 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  /\  -.  r  =  s )
)  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) )
123122expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B
) )  ->  ( -.  r  =  s  ->  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
124123orrd 367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )
)  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  /\  ( r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B
) )  ->  (
r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
125124ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( r  e.  [_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B
)  ->  ( r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
126125rexlimdvva 2687 . . . . . 6  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  -> 
( E. u  e.  A  E. v  e.  A  ( r  e. 
[_ u  /  y ]_ B  /\  s  e.  [_ v  /  y ]_ B )  ->  (
r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
12761, 126syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  -> 
( ( r  e. 
U_ y  e.  A  B  /\  s  e.  U_ y  e.  A  B
)  ->  ( r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
128127ralrimivv 2647 . . . 4  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  ->  A. r  e.  U_  y  e.  A  B A. s  e.  U_  y  e.  A  B ( r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
129 disjors 4025 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  <->  A. r  e.  U_  y  e.  A  B A. s  e.  U_  y  e.  A  B (
r  =  s  \/  ( [_ r  /  x ]_ C  i^i  [_ s  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
130128, 129sylibr 203 . . 3  |-  ( (Disj  y  e.  A B  /\  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) )  -> Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C )
131130ex 423 . 2  |-  (Disj  y  e.  A B  ->  (
( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C )  -> Disj  x  e. 
U_ y  e.  A  B C ) )
13248, 131impbid 183 1  |-  (Disj  y  e.  A B  ->  (Disj  x  e.  U_ y  e.  A  B C  <->  ( A. y  e.  A Disj  x  e.  B C  /\ Disj  y  e.  A U_ x  e.  B  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   [_csb 3094    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U_ciun 3921  Disj wdisj 4009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-iun 3923  df-disj 4010
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