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Theorem disjxun 4037
Description: The union of two disjoint collections. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
disjxun.1  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
disjxun  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  (Disj  x  e.  A C  /\ Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)

Proof of Theorem disjxun
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjel 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
2 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
32notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  B  <->  -.  y  e.  B ) )
41, 3syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  =  y  ->  -.  y  e.  B
) )
54con2d 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  B  ->  -.  x  =  y
) )
65impr 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  x  =  y )
7 biorf 394 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( ( C  i^i  D )  =  (/)  <->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( C  i^i  D )  =  (/) 
<->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
98bicomd 192 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  <->  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
1092ralbidva 2596 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
1110anbi2d 684 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
12 ralunb 3369 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
1312ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) ) )
14 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ z A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )
15 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( A  u.  B
)
16 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ x  z  =  w
17 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ C
18 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ C
1917, 18nfin 3388 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )
2019nfeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/)
2116, 20nfor 1782 . . . . . . 7  |-  F/ x
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )
2215, 21nfral 2609 . . . . . 6  |-  F/ x A. w  e.  ( A  u.  B )
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )
23 eqeq2 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x  =  w  <->  x  =  y ) )
24 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
25 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x D
26 disjxun.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
2724, 25, 26csbhypf 3129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  [_ w  /  x ]_ C  =  D )
2827ineq2d 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  ( C  i^i  D ) )
2928eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/)  <->  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
3023, 29orbi12d 690 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
3130cbvralv 2777 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<-> 
A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
32 eqeq1 2302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  w  <->  z  =  w ) )
33 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  C  =  [_ z  /  x ]_ C )
3433ineq1d 3382 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (
[_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
3534eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/)  <->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
3632, 35orbi12d 690 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<->  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
3736ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  ( A  u.  B )
( x  =  w  \/  ( C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<-> 
A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
3831, 37syl5bbr 250 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  B )
( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
3914, 22, 38cbvral 2773 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  u.  B ) ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B )
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
40 r19.26 2688 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
4113, 39, 403bitr3i 266 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) ) )
4226disjor 4023 . . . . 5  |-  (Disj  x  e.  A C  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
4342anbi1i 676 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  A C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
4411, 41, 433bitr4g 279 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  A C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
45 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )
46 eqeq2 2305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
z  =  x  <->  z  =  w ) )
47 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  C  =  [_ w  /  x ]_ C )
4847ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C ) )
4948eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/)  <->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
5046, 49orbi12d 690 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )  <->  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
5145, 21, 50cbvral 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
52 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  x  <->  y  =  x ) )
53 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
5452, 53syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  x  <->  x  =  y ) )
5524, 25, 26csbhypf 3129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  [_ z  /  x ]_ C  =  D )
5655ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  ( D  i^i  C ) )
57 incom 3374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  C )  =  ( C  i^i  D
)
5856, 57syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  ( C  i^i  D ) )
5958eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/)  <->  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6054, 59orbi12d 690 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )  <->  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
6160ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  A  ( z  =  x  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  C )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
6251, 61syl5bbr 250 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) ) ) )
6362cbvralv 2777 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
64 ralcom 2713 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
x  =  y  \/  ( C  i^i  D
)  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6563, 64bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  =  y  \/  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6665, 10syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
6766anbi1d 685 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/)  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) ) )
68 ralunb 3369 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  ( A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
6968ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  A. z  e.  B  ( A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
70 r19.26 2688 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  ( A. w  e.  A  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )  <->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
7169, 70bitri 240 . . . 4  |-  ( A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  A  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
72 disjors 4025 . . . . 5  |-  (Disj  x  e.  B C  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
7372anbi2ci 677 . . . 4  |-  ( (Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/)  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
7467, 71, 733bitr4g 279 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  <->  (Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
7544, 74anbi12d 691 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B )
( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )  <->  ( (Disj  x  e.  A C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  (Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) ) )
76 disjors 4025 . . 3  |-  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  A. z  e.  ( A  u.  B
) A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) )
77 ralunb 3369 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( A  u.  B ) A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) 
<->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B
) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
7876, 77bitri 240 . 2  |-  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  ( A  u.  B ) ( z  =  w  \/  ( [_ z  /  x ]_ C  i^i  [_ w  /  x ]_ C )  =  (/) ) ) )
79 df-3an 936 . . 3  |-  ( (Disj  x  e.  A C  /\ Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( (Disj  x  e.  A C  /\ Disj  x  e.  B C )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )
80 anandir 802 . . 3  |-  ( ( (Disj  x  e.  A C  /\ Disj  x  e.  B C )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) 
<->  ( (Disj  x  e.  A C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  (Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
8179, 80bitri 240 . 2  |-  ( (Disj  x  e.  A C  /\ Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  <->  ( (Disj  x  e.  A C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) )  /\  (Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
8275, 78, 813bitr4g 279 1  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  (Disj  x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  (Disj  x  e.  A C  /\ Disj  x  e.  B C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( C  i^i  D )  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   [_csb 3094    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468  Disj wdisj 4009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-nul 3469  df-disj 4010
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