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Theorem dislly 17223
Description: The discrete space  ~P X is locally  A if and only if every singleton space has property 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dislly  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  A  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, V    x, X

Proof of Theorem dislly
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ~P X  e. Locally  A )
2 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
3 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43snelpw 4221 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  <->  { x }  e.  ~P X
)
52, 4sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ~P X
)
63snid 3667 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x }
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  { x } )
8 llyi 17200 . . . . 5  |-  ( ( ~P X  e. Locally  A  /\  { x }  e.  ~P X  /\  x  e.  {
x } )  ->  E. y  e.  ~P  X ( y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y )  e.  A ) )
91, 5, 7, 8syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  X ( y 
C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y )  e.  A ) )
10 simpr1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  y  C_  { x } )
11 simpr2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  x  e.  y )
1211snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  { x }  C_  y )
1310, 12eqssd 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  y  =  { x } )
1413oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  =  ( ~P Xt  { x } ) )
15 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
16 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  x  e.  X )
1716snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  { x }  C_  X )
18 restdis 16909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  { x }  C_  X
)  ->  ( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
2014, 19eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  =  ~P { x } )
21 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ( ~P Xt  y )  e.  A
)
2220, 21eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A ) )  ->  ~P { x }  e.  A )
2322ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A )  ->  ~P { x }  e.  A )
)
2423rexlimdvw 2670 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. y  e.  ~P  X
( y  C_  { x }  /\  x  e.  y  /\  ( ~P Xt  y
)  e.  A )  ->  ~P { x }  e.  A )
)
259, 24mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  /\  x  e.  X
)  ->  ~P { x }  e.  A )
2625ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  ~P X  e. Locally  A )  ->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
27 distop 16733 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  Top )
2827adantr 451 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  ~P X  e.  Top )
29 elpwi 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
3029adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  y  C_  X )
31 ssralv 3237 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A ) )
33 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  x  e.  y )
3433snssd 3760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  C_  y )
3530adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
y  C_  X )
3634, 35sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  C_  X )
37 snex 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x }  e.  _V
3837elpw 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  e.  ~P X 
<->  { x }  C_  X )
3936, 38sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ~P X )
4037elpw 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x }  e.  ~P y 
<->  { x }  C_  y )
4134, 40sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ~P y )
42 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x }  e.  ( ~P X  i^i  ~P y )  <->  ( {
x }  e.  ~P X  /\  { x }  e.  ~P y ) )
4339, 41, 42sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  { x }  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) )
44 snidg 3665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  x  e.  { x } )
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  x  e.  { x } )
46 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
4746, 36, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
( ~P Xt  { x } )  =  ~P { x } )
48 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  ~P { x }  e.  A )
4947, 48eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  -> 
( ~P Xt  { x } )  e.  A
)
50 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  { x }  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  { x }
) )
51 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ~P Xt  u )  =  ( ~P Xt  { x } ) )
5251eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ( ~P Xt  u
)  e.  A  <->  ( ~P Xt  { x } )  e.  A ) )
5350, 52anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  { x }  ->  ( ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
)  <->  ( x  e. 
{ x }  /\  ( ~P Xt  { x } )  e.  A ) ) )
5453rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { x }  e.  ( ~P X  i^i  ~P y )  /\  (
x  e.  { x }  /\  ( ~P Xt  { x } )  e.  A
) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5543, 45, 49, 54syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  (
x  e.  y  /\  ~P { x }  e.  A ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
5655expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  x  e.  y )  ->  ( ~P { x }  e.  A  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5756ralimdva 2621 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  y  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5832, 57syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
5958imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P X )  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
6059an32s 779 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  /\  y  e.  ~P X )  ->  A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
6160ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  A. y  e.  ~P  X A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y ) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) )
62 islly 17194 . . 3  |-  ( ~P X  e. Locally  A  <->  ( ~P X  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  X A. x  e.  y  E. u  e.  ( ~P X  i^i  ~P y
) ( x  e.  u  /\  ( ~P Xt  u )  e.  A
) ) )
6328, 61, 62sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )  ->  ~P X  e. Locally  A )
6426, 63impbida 805 1  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  A  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  Locally clly 17190
This theorem is referenced by:  disllycmp  17224  dis1stc  17225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-lly 17192
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