Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dislly Structured version   Unicode version

Theorem dislly 17560
 Description: The discrete space is locally if and only if every singleton space has property . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dislly Locally
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem dislly
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . . 5 Locally Locally
2 simpr 448 . . . . . 6 Locally
3 vex 2959 . . . . . . 7
43snelpw 4410 . . . . . 6
52, 4sylib 189 . . . . 5 Locally
63snid 3841 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5 Locally
8 llyi 17537 . . . . 5 Locally t
91, 5, 7, 8syl3anc 1184 . . . 4 Locally t
10 simpr1 963 . . . . . . . . . 10 Locally t
11 simpr2 964 . . . . . . . . . . 11 Locally t
1211snssd 3943 . . . . . . . . . 10 Locally t
1310, 12eqssd 3365 . . . . . . . . 9 Locally t
1413oveq2d 6097 . . . . . . . 8 Locally t t t
15 simplll 735 . . . . . . . . 9 Locally t
16 simplr 732 . . . . . . . . . 10 Locally t
1716snssd 3943 . . . . . . . . 9 Locally t
18 restdis 17242 . . . . . . . . 9 t
1915, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8 Locally t t
2014, 19eqtrd 2468 . . . . . . 7 Locally t t
21 simpr3 965 . . . . . . 7 Locally t t
2220, 21eqeltrrd 2511 . . . . . 6 Locally t
2322ex 424 . . . . 5 Locally t
2423rexlimdvw 2833 . . . 4 Locally t
259, 24mpd 15 . . 3 Locally
2625ralrimiva 2789 . 2 Locally
27 distop 17060 . . . 4
29 elpwi 3807 . . . . . . . . 9
3029adantl 453 . . . . . . . 8
31 ssralv 3407 . . . . . . . 8
3230, 31syl 16 . . . . . . 7
33 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14
3433snssd 3943 . . . . . . . . . . . . 13
3530adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35sstrd 3358 . . . . . . . . . . . 12
37 snex 4405 . . . . . . . . . . . . 13
3837elpw 3805 . . . . . . . . . . . 12
3936, 38sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
4037elpw 3805 . . . . . . . . . . . 12
4134, 40sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
42 elin 3530 . . . . . . . . . . 11
4339, 41, 42sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10
44 snidg 3839 . . . . . . . . . . 11
4544ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10
46 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12
4746, 36, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 t
48 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
4947, 48eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10 t
50 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . 12
51 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13 t t
5251eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12 t t
5350, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11 t t
5453rspcev 3052 . . . . . . . . . 10 t t
5543, 45, 49, 54syl12anc 1182 . . . . . . . . 9 t
5655expr 599 . . . . . . . 8 t
5756ralimdva 2784 . . . . . . 7 t
5832, 57syld 42 . . . . . 6 t
5958imp 419 . . . . 5 t
6059an32s 780 . . . 4 t
6160ralrimiva 2789 . . 3 t
62 islly 17531 . . 3 Locally t
6328, 61, 62sylanbrc 646 . 2 Locally
6426, 63impbida 806 1 Locally
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  csn 3814  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648  ctop 16958  Locally clly 17527 This theorem is referenced by:  disllycmp  17561  dis1stc  17562 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-lly 17529
 Copyright terms: Public domain W3C validator