MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  disllycmp Unicode version

Theorem disllycmp 17476
Description: A discrete space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
disllycmp  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e. Locally  Comp )

Proof of Theorem disllycmp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7117 . . . 4  |-  { x }  e.  Fin
2 discmp 17377 . . . 4  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Comp )
31, 2mpbi 200 . . 3  |-  ~P {
x }  e.  Comp
43rgenw 2710 . 2  |-  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  Comp
5 dislly 17475 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  e. Locally  Comp  <->  A. x  e.  X  ~P { x }  e.  Comp ) )
64, 5mpbiri 225 1  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e. Locally  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   A.wral 2643   ~Pcpw 3736   {csn 3751   Fincfn 7039   Compccmp 17365  Locally clly 17442
This theorem is referenced by:  symgtgp  18046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-fi 7345  df-rest 13571  df-topgen 13588  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-cmp 17366  df-lly 17444
  Copyright terms: Public domain W3C validator