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Theorem distel 24160
Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el 4192 and elirrv 7311.) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
distel  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)

Proof of Theorem distel
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 el 4192 . . 3  |-  E. z  x  e.  z
2 df-ex 1529 . . . 4  |-  ( E. z  x  e.  z  <->  -.  A. z  -.  x  e.  z )
3 nfnae 1896 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
4 dveel1 1959 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( x  e.  z  ->  A. y  x  e.  z )
)
53, 4nfd 1746 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  x  e.  z )
65nfnd 1760 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  -.  x  e.  z
)
7 elequ2 1689 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
87notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) )
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) ) )
103, 6, 9cbvald 1948 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. z  -.  x  e.  z  <->  A. y  -.  x  e.  y ) )
1110notbid 285 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. z  -.  x  e.  z  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
) )
122, 11syl5bb 248 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. z  x  e.  z  <->  -. 
A. y  -.  x  e.  y ) )
131, 12mpbii 202 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
14 elirrv 7311 . . . . 5  |-  -.  y  e.  y
15 elequ1 1687 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  y  <->  x  e.  y ) )
1614, 15mtbii 293 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  -.  x  e.  y )
1716alimi 1546 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y  -.  x  e.  y )
1817con3i 127 . 2  |-  ( -. 
A. y  -.  x  e.  y  ->  -.  A. y  y  =  x
)
1913, 18impbii 180 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647
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