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Theorem distel 24231
Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el 4208 and elirrv 7327.) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
distel  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)

Proof of Theorem distel
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 el 4208 . . 3  |-  E. z  x  e.  z
2 df-ex 1532 . . . 4  |-  ( E. z  x  e.  z  <->  -.  A. z  -.  x  e.  z )
3 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
4 dveel1 1972 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( x  e.  z  ->  A. y  x  e.  z )
)
53, 4nfd 1758 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  x  e.  z )
65nfnd 1772 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  -.  x  e.  z
)
7 elequ2 1701 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
87notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) )
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( z  =  y  ->  ( -.  x  e.  z  <->  -.  x  e.  y ) ) )
103, 6, 9cbvald 1961 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( A. z  -.  x  e.  z  <->  A. y  -.  x  e.  y ) )
1110notbid 285 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. z  -.  x  e.  z  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
) )
122, 11syl5bb 248 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( E. z  x  e.  z  <->  -. 
A. y  -.  x  e.  y ) )
131, 12mpbii 202 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
14 elirrv 7327 . . . . 5  |-  -.  y  e.  y
15 elequ1 1699 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  y  <->  x  e.  y ) )
1614, 15mtbii 293 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  -.  x  e.  y )
1716alimi 1549 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y  -.  x  e.  y )
1817con3i 127 . 2  |-  ( -. 
A. y  -.  x  e.  y  ->  -.  A. y  y  =  x
)
1913, 18impbii 180 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  <->  -.  A. y  -.  x  e.  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660
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