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Theorem distmlva 25791
Description: Distribution of scalar multiplication over vector addition. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulone.1  |-  . t  =  ( . cv `  N )
distmlva.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
Assertion
Ref Expression
distmlva  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S . t ( U + w V ) )  =  ( ( S . t U
) + w ( S . t V ) ) )

Proof of Theorem distmlva
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8834 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
2 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
3 elmapg 6801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
U : ( 1 ... N ) --> CC ) )
4 elmapg 6801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
V : ( 1 ... N ) --> CC ) )
53, 4anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( ( U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( U :
( 1 ... N
) --> CC  /\  V : ( 1 ... N ) --> CC ) ) )
61, 2, 5mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  <->  ( U : ( 1 ... N ) --> CC  /\  V : ( 1 ... N ) --> CC ) )
7 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( U `  x )  e.  CC )
87expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  ( U : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( U `  x )  e.  CC ) )
9 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( V `  x )  e.  CC )
109expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  ( V : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( V `  x )  e.  CC ) )
118, 10im2anan9 808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( U : ( 1 ... N ) --> CC  /\  V : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  ( ( U `
 x )  e.  CC  /\  ( V `
 x )  e.  CC ) ) )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U `  x )  e.  CC  /\  ( V `  x
)  e.  CC )  /\  S  e.  CC )  ->  S  e.  CC )
13 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U `  x )  e.  CC  /\  ( V `  x
)  e.  CC )  /\  S  e.  CC )  ->  ( U `  x )  e.  CC )
14 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U `  x )  e.  CC  /\  ( V `  x
)  e.  CC )  /\  S  e.  CC )  ->  ( V `  x )  e.  CC )
1512, 13, 143jca 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( U `  x )  e.  CC  /\  ( V `  x
)  e.  CC )  /\  S  e.  CC )  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `
 x )  e.  CC  /\  ( V `
 x )  e.  CC ) )
1615ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U `  x
)  e.  CC  /\  ( V `  x )  e.  CC )  -> 
( S  e.  CC  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `  x
)  e.  CC  /\  ( V `  x )  e.  CC ) ) )
1716a1d 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U `  x
)  e.  CC  /\  ( V `  x )  e.  CC )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `  x
)  e.  CC  /\  ( V `  x )  e.  CC ) ) ) )
1811, 17syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( U : ( 1 ... N ) --> CC  /\  V : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `
 x )  e.  CC  /\  ( V `
 x )  e.  CC ) ) ) ) )
1918anidms 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( U : ( 1 ... N ) --> CC  /\  V :
( 1 ... N
) --> CC )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `  x
)  e.  CC  /\  ( V `  x )  e.  CC ) ) ) ) )
2019com4l 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  V : ( 1 ... N ) --> CC )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( S  e.  CC  /\  ( U `  x
)  e.  CC  /\  ( V `  x )  e.  CC ) ) ) ) )
216, 20sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `
 x )  e.  CC  /\  ( V `
 x )  e.  CC ) ) ) ) )
2221com3l 75 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  CC  ->  ( ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `
 x )  e.  CC  /\  ( V `
 x )  e.  CC ) ) ) ) )
23223imp1 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S  e.  CC  /\  ( U `
 x )  e.  CC  /\  ( V `
 x )  e.  CC ) )
24 adddi 8842 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  CC  /\  ( U `  x )  e.  CC  /\  ( V `  x )  e.  CC )  ->  ( S  x.  ( ( U `  x )  +  ( V `  x ) ) )  =  ( ( S  x.  ( U `  x ) )  +  ( S  x.  ( V `  x )
) ) )
2523, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S  x.  ( ( U `  x )  +  ( V `  x ) ) )  =  ( ( S  x.  ( U `  x )
)  +  ( S  x.  ( V `  x ) ) ) )
26 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  x  e.  ( 1 ... N
) )
27 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( U `  x )  +  ( V `  x ) )  e. 
_V
28 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( U `  x )  +  ( V `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( U `
 x )  +  ( V `  x
) ) )
2928fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  /\  ( ( U `  x )  +  ( V `  x ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( U `
 x )  +  ( V `  x
) ) ) `  x )  =  ( ( U `  x
)  +  ( V `
 x ) ) )
3026, 27, 29sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( U `  x
)  +  ( V `
 x ) ) ) `  x )  =  ( ( U `
 x )  +  ( V `  x
) ) )
3130oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S  x.  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( U `
 x )  +  ( V `  x
) ) ) `  x ) )  =  ( S  x.  (
( U `  x
)  +  ( V `
 x ) ) ) )
32 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( S  x.  ( U `  x ) )  e. 
_V
33 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) )
3433fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  /\  ( S  x.  ( U `  x )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) ) `  x
)  =  ( S  x.  ( U `  x ) ) )
3526, 32, 34sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( U `
 x ) ) ) `  x )  =  ( S  x.  ( U `  x ) ) )
36 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( S  x.  ( V `  x ) )  e. 
_V
37 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( V `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( V `  x ) ) )
3837fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  /\  ( S  x.  ( V `  x )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( V `  x ) ) ) `  x
)  =  ( S  x.  ( V `  x ) ) )
3926, 36, 38sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( V `
 x ) ) ) `  x )  =  ( S  x.  ( V `  x ) ) )
4035, 39oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( U `  x )
) ) `  x
)  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( V `
 x ) ) ) `  x ) )  =  ( ( S  x.  ( U `
 x ) )  +  ( S  x.  ( V `  x ) ) ) )
4125, 31, 403eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S  x.  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( U `
 x )  +  ( V `  x
) ) ) `  x ) )  =  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) ) `
 x )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( V `  x ) ) ) `  x
) ) )
42 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
43 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
44 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
4542, 43, 443jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
46453adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
4746adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) ) )
48 distmlva.1 . . . . . . . 8  |-  + w  =  (  + cv `  N )
4948isaddrv 25749 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( U + w V )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( U `  x )  +  ( V `  x ) ) ) )
5047, 49syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( U + w V )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( U `  x )  +  ( V `  x ) ) ) )
5150fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( U + w V ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( U `
 x )  +  ( V `  x
) ) ) `  x ) )
5251oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S  x.  ( ( U + w V ) `  x
) )  =  ( S  x.  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( U `  x
)  +  ( V `
 x ) ) ) `  x ) ) )
53 mulone.1 . . . . . . . . 9  |-  . t  =  ( . cv `  N )
5453ismulcv 25784 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( S . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( U `  x )
) ) )
55543adant3r 1179 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) ) )
5655adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S . t U )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( U `  x )
) ) )
5756fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( S . t U ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( U `  x ) ) ) `  x
) )
58 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
59 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  S  e.  CC )
60 simpl3r 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
6153ismulcv 25784 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( S . t V )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( V `  x )
) ) )
6258, 59, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S . t V )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( V `  x )
) ) )
6362fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( S . t V ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( S  x.  ( V `  x ) ) ) `  x
) )
6457, 63oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( S . t U ) `  x
)  +  ( ( S . t V
) `  x )
)  =  ( ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  ( U `  x )
) ) `  x
)  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( V `
 x ) ) ) `  x ) ) )
6541, 52, 643eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( S  x.  ( ( U + w V ) `  x
) )  =  ( ( ( S . t U ) `  x
)  +  ( ( S . t V
) `  x )
) )
6665mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( ( U + w V
) `  x )
) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( S . t U ) `  x
)  +  ( ( S . t V
) `  x )
) ) )
6748claddrv 25750 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( U + w V )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
68673expb 1152 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( U + w V )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
69683adant2 974 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( U + w V )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
7053ismulcv 25784 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U + w V )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( S . t
( U + w V ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( S  x.  (
( U + w V ) `  x
) ) ) )
7169, 70syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S . t ( U + w V ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( S  x.  ( ( U + w V ) `
 x ) ) ) )
72 simp1 955 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
7353clsmulcv 25785 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  U  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( S . t U )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
74733adant3r 1179 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S . t U )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
7553clsmulcv 25785 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( S . t V )  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
76753adant3l 1178 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S . t V )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )
7748isaddrv 25749 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( S . t U
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  ( S . t V
)  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( S . t U ) + w ( S . t V ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( S . t U ) `  x
)  +  ( ( S . t V
) `  x )
) ) )
7872, 74, 76, 77syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
( S . t U ) + w
( S . t V ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( S . t U ) `
 x )  +  ( ( S . t V ) `  x
) ) ) )
7966, 71, 783eqtr4d 2338 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  CC  /\  ( U  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  V  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) ) )  ->  ( S . t ( U + w V ) )  =  ( ( S . t U
) + w ( S . t V ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   NNcn 9762   ...cfz 10798    + cvcplcv 25747   . cvcsmcv 25782
This theorem is referenced by:  tcnvec  25793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-addcl 8813  ax-mulcl 8815  ax-distr 8820
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-addcv 25748  df-mulcv 25783
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