MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distopon Unicode version

Theorem distopon 16984
Description: The discrete topology on a set  A, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
distopon  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )

Proof of Theorem distopon
StepHypRef Expression
1 distop 16983 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
2 unipw 4355 . . . 4  |-  U. ~P A  =  A
32eqcomi 2391 . . 3  |-  A  = 
U. ~P A
43a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. ~P A )
5 istopon 16913 . 2  |-  ( ~P A  e.  (TopOn `  A )  <->  ( ~P A  e.  Top  /\  A  =  U. ~P A ) )
61, 4, 5sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957   ` cfv 5394   Topctop 16881  TopOnctopon 16882
This theorem is referenced by:  sn0topon  16985  toponmre  17080  cndis  17277  txdis1cn  17588  xkofvcn  17637  distgp  18050  symgtgp  18052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-top 16886  df-topon 16889
  Copyright terms: Public domain W3C validator